空间几何体的表面积和体积例题.doc
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1、例题讲解:例1一个长方体全面积是20cm2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.解析:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得: 由(2)2得:x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)由(3)(1)得x2+y2+z2=16即l2=16所以l=4(cm)。点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。例2如图1所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,ABAD,A1AB=A1AD
2、=。(1)求证:顶点A1在底面ABCD上的射影O在BAD的平分线上;(2)求这个平行六面体的体积。图1 图2解析:(1)如图2,连结A1O,则A1O底面ABCD。作OMAB交AB于M,作ONAD交AD于N,连结A1M,A1N。由三垂线定得得A1MAB,A1NAD。A1AM=A1AN,RtA1NARtA1MA,A1M=A1N,从而OM=ON。点O在BAD的平分线上。(2)AM=AA1cos=3×=AO=。又在RtAOA1中,A1O2=AA12 AO2=9=,A1O=,平行六面体的体积为。例3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是,这个长方体对角线的长是( )A2 B3 C6 D解析:设
3、长方体共一顶点的三边长分别为a=1,b,c,则对角线l的长为l=;答案D。点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例4如图,三棱柱ABCA1B1C1中,若E、F分别为AB、AC 的中点,平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1V2= _ _。解析:设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点,SAEF=S,V1=h(S+S+)=ShV2=Sh-V1=Sh,V1V2=75。点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型3:
4、锥体的体积和表面积PABCDOE例5(2006上海,19)在四棱锥PABCD中,底面是边长为2的菱形,DAB60,对角线AC与BD相交于点O,PO平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60,求四棱锥PABCD的体积?解析:(1)在四棱锥P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB与平面ABCD所成的角,PBO=60°。在RtAOB中BO=ABsin30°=1, 由POBO,于是PO=BOtan60°=,而底面菱形的面积为2。四棱锥PABCD的体积V=×2×=2。点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能
5、力方面主要考查空间想象能力。图例6(2002京皖春文,19)在三棱锥SABC中,SAB=SAC=ACB=90°,且AC=BC=5,SB=5。(如图所示)()证明:SCBC;()求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小;()求三棱锥的体积VSABC。解析:()证明:SAB=SAC=90°,SAAB,SAAC。又ABAC=A,SA平面ABC。由于ACB=90°,即BCAC,由三垂线定理,得SCBC。()BCAC,SCBC。SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角。在RtSCB中,BC=5,SB=5,得SC=10。在RtSAC中AC=5,SC=10,cosSCA
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