等比数列的前n项和_例题解析.docx
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1、等比数列的前n项和例题解析例1设等比数列的首项为 a(a >0),公比为q(q >0),前n项和为80,其中最大的一项为 54,又它的前2n项和为6560,求a和q.'a(1-qn)j 1 -qa(1 _q2n)解 由 Sn=80, S2n=6560,故 qwl80= qn = 816560. a>0, q>1,等比数列为递增数列,故前 n项中最大项为an.an=aqn-1 =54将代入化简得 a=q-1, 石化简得3a = 2q由,联立方程组解得a=2, q=3【例2】求证:对于等比数列,有S: + S2n =$.幽+ $3.).证J 吊=2 + aq+aq2
2、+ + an-1S2n=Sn+(a1qn + a1qn+1+ + a/n-1)=Sn+qn(a1 + a1q+- + a1qn-1 )=Sn+qnSn=Sn(1 +qn)类似地,可得 S3n=Sn(1 +qn+q2n)S2+S2n =S2 + Sn(1 + qn)2= Sn(2+2qn + q2n)Sn(S2n + S3n) =SnSn(1 + qn)+Sn(1 + qn+q2n )2n 2n=Sn(2+ 2q +q ).S2+S2n =Sn(S2n + S3n)说明本题直接运用前n项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地 处理了 S2n、S3n与Sn的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结
3、合律、提 取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好, 则解法巧.【例3】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数.分析 设等比数列为an,公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为 q2,首项分别为a1, a1q.解 设项数为2n(n C N*),因为a1=1,由已知可得qwl.ai(1 -q2n)1 - q2 aq(1 -q2n)=851 -q2=170/曰 1 -4n得=854n =256 n=4把q = 2代入1 -4即公比为2,项数为8.说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理
4、时,对公比q要分情况 讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.【例4】 选择题:在等比数列an中,已知对任意正整数 n,有Sn=2n1,则a2 + a2 + an等于A. (2n -1)2B.C. 2n -1D.3(2n-1)2 3d),%=5=1,an=SnSn-1 =2n 1an=2n-12a2 bn=(a n) 2=(2 n-1) 2=22n-2 =4n-1 .22b1 + b2 + -+ bn = a1 + a2 + . +=1 + 4 + 42 + 4n,4n -11n=(4 7)4 -13【例5】设0Vg 1, m为正整数
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