[考研数学]线性代数历年考研试题之计算题与证明题.docx
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1、线性代数历年考研试题精解三、计算题与证明题1.(1987,)问为何值时,线性方程组有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.【考点】非齐次线性方程组解的理论的应用.解 方法一: .(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,方程组无解或无穷多解,此时.当时,方程组有无穷多解;此时,方程组的通解为为任意常数;当时,方程组无解.综上可得:(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,方程组有无穷多解;(3)当时,方程组无解.方法二:方程组的系数行列式.(1)当时,方程组有惟一解;(2)以下同方法一.【注意】(1)含有参数的线性方程组的解的讨论都是用方法一或方法二解决.但方法一具有普遍性,即这
2、类问题都可用方法一求解;方法二具有特殊性,其适用范围是:方程的个数等于未知数的个数;方程组的系数行列式含参数.(2)求解这类问题的关键点是先讨论方程组有惟一解的情形,再讨论无解或无穷多解.切记切记.2.(1987;1990)设为阶矩阵,和是的两个不同的特征值;是分别属于和的特征向量,试证明不是的特征向量.【考点】特征值的定义,性质及向量组线性相(无)关的定义.解 反证法:假设是的特征向量,则存在数,使得,则.因为,所以线性无关,则.矛盾.【注】矩阵的不同的特征值所对应的特征向量线性无关.3.(1987,)设矩阵和满足关系式,其中,求矩阵.【考点】解矩阵方程.解 由.4.(1987,)解线性方程
3、组【考点】求解非齐次线性方程组.解 .由,得方程组有无穷多解.方程组的解,令得方程组的通解为任意常数.5.(1987,)求矩阵的实特征值及对应的特征向量.【考点】求矩阵的特征值及特征向量.解 ,得的实特征值.解得其对应的特征向量,其中为不为零的任意常数.6.(1988,)已知,其中,求及.【考点】解矩阵方程及求矩阵的幂.解 .【注意】若,则;一般地,设,则方阵的多项式.7.(1988,)已知矩阵与相似:(1)求与;(2)求一个满足的可逆矩阵.【考点】相似矩阵的性质及一般矩阵的对角化方法.解 (1)方法一:与相似,则,即,比较系数,得.方法二:的特征值为.由与相似,则的特征值为.故.【注意】方法
4、一具有一般性;方法二具有特殊性(为什么?)如果利用方法二得到的不是惟一解,则方法二失效.但方法二比较简单,建议:做填空题与选择题时用方法二,做解答题时用方法一.(2)分别求出的对应于特征值的线性无关的特征向量为.令可逆矩阵,则.8.(1988) 设3阶方阵的伴随矩阵为,且,求.【考点】矩阵运算的性质.解 ,所以.或,则.【注意】求解此类问题,一般是将行列式中的式子先化简,再求行列式.此处用到矩阵的如下性质:;9.(1988,) 设向量组线性无关,且,讨论向量组的线性相关性.【考点】向量组的线性相关性的判别方法.解 方法一:设,即.因为线性无关,则,其系数行列式.(1)当为奇数,方程组只有零解,
5、则向量组线性无关;(2)当为偶数,方程组有非零解,则向量组线性相关.方法二:显然,因为线性无关,则(1)为奇数时,则向量组线性无关;(2)为偶数时,则向量组线性相关.【注意】(1)已知可由线性表示的具体表达式,且线性无关时,用方法二求解一般较简便.(2)若可逆,则.一般地,即乘积矩阵的秩不小于每一个因子的秩.10.(1988,) 设线性方程组为,问与各取何值时,方程组无解?有惟一解?有无穷多解?有无穷多解时,求其一般解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解 方法一:(一般情形).(1)当时,方程组有惟一解;(2)当时,则当时,方程组无解;当时,方程组有无穷多解,且,则通解(一般解)为为任意常
6、数. *综上:当时,方程组有惟一解;当且时,方程组无解;当且时,方程组有无穷多解,且一般解为*式.方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式.(1)当时,方程组有惟一解;以下同方法一.11. (1988)已知阶方阵满足矩阵方程.证明可逆,并求出其逆矩阵.【考点】抽象矩阵是求逆.解 由可逆,且.12.(1989,)问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式.【考点】含参数的非齐次线性方程组解的讨论及非齐次线性方程组的求解.解 .线性方程组有解,其通解为为任意常数.13.(1989,)假设为阶可逆矩阵的一个特征值,证明:(1)为的特征值; (2)为的伴随矩阵的特征值.【考点】特征值的概念.证 (1
7、)设对应于特征值的特征向量为,则.(2) .14.(1989,)已知,其中,求矩阵.【考点】解矩阵方程.解 .15. (1989)设.(1)问当为何值时,向量组线性无关? (2)问当为何值时,向量组线性相关? (3)当向量组线性相关时,将表示为和的线性组合. 【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论及求向量由向量组线性表示的具体表示式.解 方法一:(一般情形).(1)当时,线性无关;(2)当时,线性相关;(3)当时,则.方法二:(特殊情形)线性无关;当时,线性相关;令.【注意】方法二只有在向量组所含向量的个数等于向量的维数时才适用.16.(1989,)设.(1)试求矩阵的特征值; (2)利用(1
8、)的结果,求矩阵的特征值,其中是三阶单位矩阵. 【考点】特征值的计算及特征值的性质.解 (1) ,则的特征值为.(2)设为可逆矩阵的特征值,为对应的特征向量,则,即为的特征值.所以的特征值为.17. (1989)讨论向量组的线性相关性.【考点】含参数的向量组线性相关性的讨论.解 参考15. (1989).答案:当时线性无关;当时线性相关.18.(1990,)设四阶矩阵且矩阵满足关系式,其中为四阶单位矩阵,表示的逆矩阵,表示的转置矩阵,将上述关系式化简并求矩阵.【考点】解矩阵方程及矩阵的运算.解 .【注意】在解矩阵方程时,如果矩阵方程中含有已知矩阵的逆矩阵或伴随矩阵,利用或化掉或.19.(199
9、0,)求一个正交变换化二次型成标准形.【考点】利用正交变换化二次型为标准形的方法.解 (1)写出二次型的矩阵:.(2)求的特征值:的特征值为.(3)求的两两正交且单位化的特征向量:对应于特征值的线性无关的特征向量为,正交化得,单位化得.对应于特征值的线性无关的特征向量为,单位化得.(4)构造正交变换:令正交矩阵,则所求正交变换为.(5)写出二次型的标准形:二次型的标准形为.【注意】利用正交变换化二次型为标准形的步骤:(1)写出二次型的矩阵;(2)求的特征值;(3)求的两两正交且单位化的特征向量;(4)构造正交变换;(5)写出二次型的标准形.20.(1990,) 已知线性方程组(1)为何值时,方
10、程组有解?(2)方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系;(3)方程组有解时,求出方程组的全部解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解 参考10.(1988,),此题只能用方法一(一般情形)(为什么?请读者自己考虑).(1)方程组有解;(2)当时,方程组的解.方程组的导出组的解,令,得方程组的导出组的一个基础解系.令,得方程组的一个特解.则方程组的通解,其中为任意常数.21.(1990) 已知对于阶方阵,存在自然数,使得.试证明矩阵可逆,并写出其逆矩阵的表达式(为阶单位阵).【考点】抽象矩阵求逆.证 ,所以可逆,且.22.(1990)设为矩阵计算行列式,其中为10阶单位矩阵,为常数.【
11、考点】行列式的计算.解 .23.(1990)设方阵满足条件,其中是的转置矩阵, 为单位阵.试证明的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1.【考点】特征值与特征向量的概念.证 设的实特征向量所对应的特征值为,则.又.【注】注意本题的是正交矩阵,由此有如下结论:实对称正交矩阵的特征值必为.24.(1991,)已知,及.(1)为何值时,不能表示成的线性组合?(2)为何值时,有的唯一的线性表示式?并写出该表示式.【考点】含有参数的向量可由向量组线性表示的讨论.解 可由线性表示线性方程组有解.(1)当时,线性方程组无解,不能由线性表示;(2)当时,线性方程组有惟一解,可由惟一地线性表示.此时,则,所以.
12、25.(1991,)设是阶正定矩阵,是阶单位矩阵,证明的行列式大于1.【考点】正定矩阵的性质,特征值的性质,实对称矩阵的对角化理论.证 方法一:为阶正定矩阵,则的特征值.而的特征值分别为,则.方法二:为阶正定矩阵,则存在正交矩阵,使得,即.其中为的特征值,且.则.26.(1991,)设有三维列向量,问取何值时:(1)可由线性表示,且表达式惟一;(2)可由线性表示,且表达式不惟一;(3)不能由线性表示.【考点】含参数的向量可由向量组线性表示的讨论,等价于含有参数的线性方程组解的讨论.解 方法一:(一般情形).(1)当时,可由惟一地线性表示;(2)当时,可由线性表示,且表达式不惟一;(3)当时,不
13、能由线性表示.方法二: .(1)当时,可由惟一地线性表示;(2)当时,可由线性表示,且表达式不惟一;(3)当时,不能由线性表示.【注意】(1)向量可由线性表示有解有解有解,其中.(2)本题实质上等价为问取何值时,线性方程组有惟一解,无解,有无穷多解.27.(1991)考虑二次型问取何值时,为正定二次型?【考点】判别二次型正定的霍尔维茨定理.解 二次型的矩阵.则为正定二次型.28.(1991)试证明维列向量线性无关的充分必要条件是,其中表示列向量的转置,.【考点】线性无关的判别定理,分块矩阵的运算,矩阵的性质.证 维列向量线性无关.又,则,即.29.(1991)设阶矩阵和满足条件.(1)证明为可
14、逆矩阵; (2)已知,求矩阵.【考点】证明抽象矩阵可逆及解矩阵方程.证 (1)由,则可逆.(2)由(1)得,.30.(1991)已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量,试求常数的值.【考点】特征值与特征向量的概念.解 设为对应于的的特征值,则.解方程组得或.【注意】(1)已知含参数的矩阵的特征值,求参数时,方法是运用特征值的性质或特征多项式求解;(2)已知含参数的矩阵的特征向量,求参数时,方法是运用特征值与特征向量的定义,得线性方程组再解之.31.(1992,)设向量组线性相关,向量组线性无关,问:(1)能否由线性表出?证明你的结论.(2)能否由线性表出?证明你的结论.【考点】向量组线性相关的性质.
15、解 (1)能由线性表出.事实上,线性无关,则线性无关,又线性相关,所以能由线性表出.(2)不能由线性表出.方法一: .方法二:假设能由线性表出.由(1)知能由线性表出,则能由线性表出,与线性无关矛盾.32.(1992,)设三阶矩阵的特征值为,对应的特征向量依次为,又向量.(1)将用线性表出; (2)求(为自然数).【考点】向量的线性表示,特征值与特征向量的概念.解 (1)解方程组得.(2).33.(1992)设为3阶矩阵,为三阶单位矩阵,满足,又知,求矩阵.34.(1992)设矩阵与相似,其中.(1)求和的值; (2)求可逆矩阵,使.【考点】已知矩阵的特征值求矩阵含参数;相似矩阵的性质;矩阵的
16、相似对角化.解 (1)方法一:与相似,则,即,解得.方法二:显然的特征值为;有特征值.与相似,则与有相同的特征值,故.又(2)的对应于特征值的特征向量分别为,令可逆矩阵,则.【注意】(1) 对(1)求解时,若由,得有无穷多解,此时这种方法失效.(2) 在(1)的解法中,方法二非常简便,它综合运用了特征值的性质,避免了烦琐的计算.读者不觉得好好玩味一下吗?35.(1992)已知三阶矩阵,且的每一个列向量都是以下方程组的解:(1)求的值; (2)证明.【考点】线性方程组解的理论的应用.解 (1)由题意知,齐次线性方程组有非零解,则方程组的系数行列式.(2)由题意,得.若,矛盾,所以.或 由;又,则
17、.【注意】(1) 若,则有下面两个常用的结论:.若,则齐次线性方程组有非零解.(2),即非奇异矩阵就是降秩矩阵.36.(1992)设分别为阶正定矩阵,试判定分块矩阵是否是正定矩阵.【考点】正定矩阵的判别定理.解 方法一:用定义证明. ,不妨设,则,故,即是正定矩阵.方法二:用特征值证明.,即的特征值由的特征值的全部.而的特征值全大于零,则的特征值全大于零,即是正定矩阵.【注意】讨论抽象矩阵的正定性,一般用上面两种方法.37.(1992)设矩阵,矩阵满足,其中为三阶单位矩阵.试求出矩阵.【考点】解矩阵方程.解 由.又,则.【注意】此题也可由求解,但计算烦琐.在矩阵的运算时,应尽量应用矩阵的性质先
18、化简.38.(1992)设线性方程组的系数矩阵为,三阶矩阵,且.试求的值.参考35.(1992)的(1).39.(1992)已知实矩阵满足条件:(1)(),其中是的代数余子式;(2).计算行列式.【考点】伴随矩阵及其性质;行列式按行(列)展开定理.解 由或.又.40.(1993,)已知二次型,通过正交变换化为标准形,求参数及所用的正交变换矩阵.【考点】二次型理论;用正交变换化二次型为标准形的方法.解 二次型的矩阵,则的特征值为.由.或 由.对应于特征值的特征向量,单位化,得;对应于特征值的特征向量,单位化,得;对应于特征值的特征向量,单位化,得.则所求的正交变换矩阵.41.(1993,)设是矩
19、阵,是矩阵,其中,是阶单位矩阵.若,证明的列向量组线性无关.【考点】抽象向量组线性相关性的判别.证 方法一:用定义证明.设,则的列向量组线性无关.方法二:用矩阵的秩证明.,则的列向量组线性无关.42.(1993)已知的两个基为与,求由基到基的过渡矩阵.【考点】过渡矩阵的概念;矩阵的运算.解 .【注意】由基到基的过渡矩阵定义为,即是向量组由线性表示的系数矩阵.43.(1993)为何值时,线性方程组有唯一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.【考点】含参数的线性方程组解的讨论.解 方法一:(一般情形).(1)方程组有惟一解且,此时则解为.(2)当时,方程组无解.(3)当时,方程组有无
20、穷多解,此时解为,则通解为,其中为任意常数.方法二:(特殊情形)方程组的系数行列式.(1)当且时,方程组有惟一解,由Crammer法则得解为.(2)当时,方程组无解.(3)当时,方程组有无穷多解,且,解为,则通解为,其中为任意常数.44.(1993)设二次型经正交变换化成,其中和都是三维列向量,是三阶正交矩阵.试求常数.【考点】二次型理论.解 二次型的矩阵,其特征值为,则.(这里为什么不能用特殊方法,请读者自己思考).45.(1993)已知三阶矩阵的逆矩阵为,试求其伴随矩阵的逆矩阵.【考点】矩阵运算.解 .46.(1993)设是矩阵,是矩阵,是阶单位矩阵(),已知.试判断的列向量组是否线性相关
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