高中数学排列组合及二项式定理知识点.docx
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1、名师总结优秀知识点高中数学之排列组合二项式定理一、分类计数原理和分步计数原理:分类计数原理: 如果完成某事有几种不同的方法,这些方法间是彼此独立的,任选其中一种方法都能达到完成此事的目的,那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。分步计数原理: 如果完成某事,必须分成几个步骤,每个步骤都有不同的方法,而个步骤中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接,只有依次完成所有各步,才能达到完成此事的目的,那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。区别:如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事,则选用分类计数原理,即类与类之间是相互独立的,即“分类完成”;如果只有当n 个步骤都做完,这
2、件事才能完成,则选用分步计数原理,即步与步之间是相互依存的,连续的,即“分步完成”。二、排列与组合:(1)排列与组合的区别和联系:都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题;区别:前者有顺序,后者无顺序。(2)排列数、组合数:排列数的公式:Anmn(n 1)(n 2) (n m 1)n!(m n)(nm)!注意:全排列:Ann! ;n记住下列几个阶乘数, 1! =1, 2! =2,3! =6, 4! =24, 5! =120, 6! =720;排列数的性质: Anm AnmnAnm 11 (将从 n 个不同的元素中取出m(mn) 个元素,分两步完成:第一步从 n 个元素中选出1 个排在指定
3、的一个位置上;第二步从余下n1 个元素中选出m1 个排在余下的m1 个位置上)mAnm11Anm 1 (将从 n 个不同的元素中取出m(mn) 个元素,分两类完成:第一类: m 个元素中含有a ,分两步完成:第一步将 a 排在某一位置上,有m 不同的方法。第二步从余下n1 个元素中选出m1 个排在余下的m1 个位置上)即有 mAnm 11 种不同的方法。第二类: m 个元素中不含有a ,从 n1个元素中取出m 个元素排在m 个位置上,有Anm 1 种方法。组合数的公式:CnmAnmn(n 1)(n2) (n m 1)n!(m n)Ammm!m! (nm)!组合数的性质: C nmC nn m(
4、从 n 个不同的元素中取出m 个元素后, 剩下 nm 个元素, 也就是说,名师总结优秀知识点 C nm C nm C nm C nm从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的每一个组合,都对应于从 n 个不同的元素中取出 n m 个元素的唯一的一个组合。 )mm 1m 1C n 1C n 1 (分两类完成: 第一类: 含 a ,有 C n 1 种方法; 第二类: 不含 a ,有 C nm 1 种方法;)nm 11 个元素中选出 m 1C n 1(第一步:先选出 1 个元素,第二步:再从余下 nm个,但有重复,如先选出a1 ,再选出 a2 , a3 , am 组成一个组合,与先选出 a2 ,再选出
5、 a1 , a3 , am 组成一个组合是相同的, 且重复了 m次)m 1m 1m 1m 1n) (分 n m1类:第一类:含 a1 ,C n 1C n 2C n 3C m 1 (mm 1m 1a1 ,不含为 C n 1 ;第二类:不含a1 ,含 a2 ,为 C n 2 ;第三类:不含a2 ,含 a3 ,为 C nm31 ;)m0m 1 11m 1mC rC nrC rC n rC rC n rC n r (将 n 元素分成分成两个部分, 第一部分含 r (rm) 个元素,第二部分含 n r (n rm) 个元素:在第一部分中取m 个元素,在第二部分不取元素,有C rmC n0r ;在 第 一
6、 部 分 中 取 m 1 个 元 素 , 在 第 二 部 分 取 1 个 元 素 , 有C rm 1C n1 r ;)(3)排列、组合的应用:解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题,其次要 搞清需要分类,还是需要分步切记: 排组分清 ( 有序排列、无序组合) ,分类分步明确排列组合应用问题主要有三类:不带限制条件的排列或组合题;带限制条件的排列或组合题;排列组合综合题;解排列组合的应用题,通常有以下途径:以元素为主,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素特殊元素法以位置为主,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置特殊位置法先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减不合要求的排列数或
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- 高中数学 排列组合 二项式 定理 知识点
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