微专题25数列中常见的求和问题.docx
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1、微专题25 数列中常见的求和问题真题感悟(2018 江苏卷)已知集合 A= xX= 2n- 1, n N* , B = x|x= 2n, n N*.将 AU B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an.记sn为数列an的前n项和,则使得Sn>12an+1成立的n的最小值为.解析 所有的正奇数和2n(n N*)按照从小到大的顺序排列构成an,在数列an 中,25前面有16个正奇数,即a2i = 25, a38= 26.当n= 1时,S = 1<12比=24, 不符合题意;当n= 2时,S2 = 3<12a3= 36,不符合题意;当n = 3时,S3 = 6<12a4=
2、48,不符合题意;当n= 4时,S4= 10<12a5= 60,不符合题意;当n = 26时,S26 =21 X (1 + 41)22X (1-25)+ 1-2= 441 + 62= 503<12a27= 516,不符合题27 时,S27 =22 X (1+ 43)22X (1-25)+= 484+ 62= 546>12a28=1-2540,符合题意.故使得Sn>12an+1成立的n的最小值为27.答案 27考点整合数列求和(1) 分组转化法:一个数列既不是等差数列,也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成几个可以求和的部分,分别求和,然后再合并.(2)
3、 错位相减法:主要用于求数列an bn的前n项和,其中an , bn分别是等差 数列和等比数列.(3) 裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式,然后通过累加c抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如a即(其中an是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列.热点聚焦疔类突礦I热点一分组转化法求和【例1】(2019南京高三月考)已知等差数列an的首项ai = 2,前n项和为Sn, 等比数列bn的首项 bi= 1,且 a2= b3, 83= 6b2, n N .(1)求数列an和bn的通项公式;数列Cn满足Cn = bn+ ( 1)"an,记数列 Cn的前n项和为Tn,求T
4、n. 解(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q.a1 = 2, b1= 1,且 a2= b3, Ss = 6b2,22+ d = q ,d = 2,2an = 2+ (n 1) x 2= 2n, bn= 2n 1由题意:Cn= bn + ( 1)nan= 2n 1 + ( 1)n2n. Tn= (1 + 2+ 4+-+ 2n 1) + 2+ 4 6+ 8+ ( 1)n 2n, 若n为偶数,则1 2nTn=+ ( 2+ 4) + ( 6+ 8)+ 2( n 1) + 2n1 2二 3 (2 + 2 + 2d)= 6q.解得 q = 2.=2n 1+2x 2 = 2n+ n 1.若n为奇数
5、,则1 2nTn=+ ( 2+ 4) + ( 6+ 8) + 2(n 2) + 2(n 1) 2n1 2 =2n 1+ 2xn-1 2n= 2n n-2.2n+ n 1, n为偶数,Tn= 2n n 2, n为奇数.探究提高1.在处理一般数列求和时,一定要注意运用转化思想,把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时,常常根据 需要对项数n进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略:(1)根据等差、等比数列分组;根据正号、负号分组.* 1 1 2【训练1】 已知an是等比数列,其前n项和为Sn(n N ),且占一五二亦, 63.(1) 求数列a
6、n的通项公式;(2) 若对任意的n N*, bn是Iog2an和Iog2an+1的等差中项,求数列( 1)nb 1 =n 2+ 2n 2 = 2n2. 热点二裂项相消法求和 【例2】(2019扬州期末)已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn,且2SAh =a2 + an,数列bn满足 b1 = 2, 2bn+1 = bn + a. (1) 求数列an , bn的通项公式;bn+2 ”的前2n项和.解设数列an的公比为q.1由已知,有石-1a1qa1q解得q= 2或q= 1.1 q(2) 设数列cn满足cn= $,求和C1 + C2+ Cn.解(1)2Sn= an+ an,2Sn+1 = a
7、2+1 + an+1,又由 S6= a1 = 63,知 qM 1,1 q1 26所以a1 二63,得a仁1.1 2所以 an= 2n1, n N*.1 1 1由题意,得 bn = 2(log2an+ Iog2an+1) = 2(log22n1 + Iog22n)= n 2,1即bn是首项为Q,公差为1的等差数列设数列( 1)nb?的前n项和为Tn,贝UT2n= ( b2 + b2) + ( b2 + b2) + + ( b2n1 + b2n) 2n (b1 + b2n)=b1 + b2 + b3 + b4+ b2n 1 + b2n =一得 2an + 1= an+1 an+ an+1 an,即
8、(an+1 + an)(an+1 an 1) = 0.因为时是正数数列,所以an+1 an 1 = 0, 即 an+1 an = 1.在 2Sn = an+ an 中,令 n= 1,得 a1 = 1,所以an是以a1= 1为首项,公差为1的等差数列. 所以an= n.由2bn + 1 =加+鼬册1 bn2 7,所以数列是等比数列,其中首项为1,公比为2,n所以bn = 2,即bn=扌.bn+2Cn= =n+ 2由得 Cn= g =( n2+ n) 2n+1,所以Cn =_1n2n (n+ 1) 2n+1,、 1 1 所以 C1+ C2+ + Cn= 1 % ?1 2X 2?1 1 1 1+ 2
9、X22 3X23 + n 2n (n+ 1) 2n+1=11_ ( n+ 1) 2n 1=2 (n+ 1) 2n+1 _ (n+ 1) 2n+1.探究提高 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项,使这些裂开的项出现有规律的相互抵消,要注意消去了哪些项,保留了哪些项.2. 消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数 第几项.【训练2 (2015江苏卷)设数列an满足a1_ 1,且an+1 an_ n + 1(n N ),则1数列;前10项的和为.解析 :a1_ 1 ,an+1 an_ n + 1, a2 a1 _ 2, a3 a2_ 3,,an an 1
10、_ n(n2),将以上n 1个式子相加得 an ai = 2 + 3+ n= n (n+ 1)2 (n> 2).又n 1时,a1也适合上式,故an(2+ )即”n (n+ 1)12.令bn書,故bn2 1 1- 2n-市故S10-b1+b+b101 1 1 1 12+ 2 3+ 询112011.20答案20热点三错位相减法求和【例3】 已知an为等差数列,前n项和为Sn(n N*), bn是首项为2的等比数列,且公比大于 0, b2 + b3 12, b3 a4 2a1, S11 11b4.(1)求an和bn的通项公式;求数列a2nbn的前n项和(n N*).解(1)设等差数列an的公差
11、为d,等比数列bn的公比为q,由已知 b2+ b3 12,得 b1(q + q2) 12,而 b1 2,所以 q2+ q 6 0,又因为q>0,故解得q 2,所以bn 2n.由 b3 a4 2a1,可得 3d a1 8,由 S11 11b4,可得 a1+ 5d16,联立,解得a1 1, d 3,由此可得an 3n 2.所以时的通项公式为an 3n 2, bn的通项公式为bn 2n.(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由 a2n 6n 2, bn 2n,有Tn 4X 2+ 10X 22 + 16X 23+ (6n 2)X 2n,2Tn 4X 22 + 10X 23 + 16X 24+
12、(6n 8)X 2n+ (6n 2) X 2n+1, 上述两式相减,得Tn 4X 2 + 6X 22 + 6X 23+ 6X 2n (6n 2)X 2n+112X( 1 2n)124 (6n 2)X 2n+1=(3n 4)2n+2 16.所以 Tn= (3n 4)2*2+ 16.所以数列a2nbn的前n项和为(3n 4)2n+2+ 16.探究提高 1一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,求数列an bn的前n项和时,可采用错位相减法求和,一般是和式两边同乘以等比数列bn的 公比,然后作差求解2.在写与qs”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确地写出“Sn qSn”的
13、表达式.【训练3】(2018浙江卷)已知等比数列an的公比q>1,且a3+ a4 + a5 = 28, a4 + 2是a3,a5的等差中项.数列bn满足1,数列(bn+1 bn)an的前n项和为2n2+ n.(1) 求 q的值;(2) 求数列bn的通项公式.解 (1)由a4 + 2是a3,a5的等差中项得a3 + a5 = 2a4 + 4,所以 a3 + a4 + a5= 3a4 + 4= 28,解得 a4= 8.丄1由 a3 + a5= 20 得 8 q + q = 20,1解得q = 2或q= 2,因为q>1,所以q = 2.设cn= (bn+1 bn)an,数列 Cn前n项和
14、为Sn.S1, n = 1,由 Cn=解得 Cn = 4n 1.Sn Sn-1, nA 2,由(1)可知 an= 2n1,n 11所以 bn+1 bn= (4n 1)*2,n21故 bn bn-1 = (4n 5),2, nA2, bn b1 = (bn bn1) + (bn 1 bn 2) + (b3 b2)+ (b2 b1)n 2n 3=(4n 5) 1+ (4n-9)1+ 7X 2+ 3.设 Tn= 3+ 7X 2+ 11X+ + (4n-5) n2,nA2,21 1 1则2" 3x + 7x 2+ + (4n 9) n 2+ (4n 5) 2,n 11n2n 11(4n 5)
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