七年级数学竞赛 第11讲 线段与角.docx
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1、七年级数学竞赛 第十一讲 线段与角线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念,这两个概念在日常 生活中有着广泛的应用小明做作业需要买一些文具在他家的左边 200 米处有一家文具店, 他从家出发向文具店走去,走到一半发现忘了带钱,又回家取钱买了文具 后回到家中问小明共走了多长的路程?在高层建筑中,一般都设有电梯,人们上楼一般都乘坐电梯,你想过 吗,设计电梯与线段的什么性质有关?钟表是大家熟悉的计时工具,你可曾观察过在 2 点到 3 点之间什么时 候时针与分针重合?什么时候时针与分针成 90°角?我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题,不少问题 很有趣,也颇费脑筋,对于留心观
2、察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好 机会例 1 已知:ABBCCD=234,E,F 分别是 AB 和 CD 的中点,且 EF=12 厘米(cm),求 AD 的长(如图 16)分析 线段 EF 是线段 AD 的一部分,题设给出了 EF 的长度,只要知道 线段 EF 占全线段 AD 的份额,就可求出 AD 的长了解 因为 ABBCCD=234,E 是 AB 中点,F 是 CD 中点,将线段 AD 9 等分(9=2+3+4)且设每一份为一个单位,则 AB=2,BC=3,CD=4,EB=1, CF=2从而EF=EB+BC+CF=1+3+2=6,例 2 在直线 l 上取 A,B 两点,使 AB=10 厘
3、米,再在 l 上取一点 C, 使 AC=2 厘米,M,N 分别是 AB,AC 中点求 MN 的长度(如图 17)1分析 因为是在直线上取 C 点,因此有两种情形:C 点在 A 点的右侧 或 C 点在 A 点的左侧解 若 C 点在 A 点的右侧(即在线段 AB 上)因为 AC=2 厘米, N 为 AC 中点,所以 AN=1 厘米;又 AB=10 厘米,M 为 AB 中点,所以 AM=5 厘米则MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图 17(a)若 C 点在 A 点的左侧(即在线段 BA 延长线上),此时 MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图 17(b)线段的最基本性质是“两点之间线段最短
4、”,这在生活中有广泛应 用前面所提到的高层建筑所设电梯的路线,就是连接两层楼之间的线段, 而楼梯的路线则是折线,电梯的路线最短例 3 如图 18 所示在一条河流的北侧,有 A,B 两处牧场每天 清晨,羊群从 A 出发,到河边饮水后, 折到 B 处放牧吃草请问, 饮水 处应设在河流的什么位置,从 A 到 B 羊群行走的路程最短?分析 将河流看作直线 l(如图 19 所示)设羊群在河边的饮水点为 C,则羊群行走路程为 AC+CB设 A 关于直线 l 的对称点为 A,由 对称性知 CA=CA2因此,羊群行走的路程为AC+CB线段 AC与 CB 是连结点 A与点 B 之间的折线由线段的基本 性质知,连
5、结点 A与点 B 之间的线中,线段 AB 最短设线段 AB 与 直线 l 交于 C那么,C 点就是所选的最好的饮水地点,下面我们来说明 这一点解 作 A 关于直线 l 的对称点 A连结 B,A,并设线段 BA与 l 交于 C设 C是 l 上不同于 C 的另外一点,只要证明AC+CBAC+CB 即可利用线段基本性质及点关于直线的对称性知AC=CA及 CA=CA,所以AC+CB=CA+CB,AC+CB=CA+CB=AB而 CA与 CB 是连结 A,B 的折线,而 AB 则是连结这两点之 间的线段,所以CA+CBAB=AC+CB=AC+CB,从而成立,即选择 C 点作为羊群的饮水点,羊群的行程最短例
6、 4 将长为 10 厘米的一条线段用任意方式分成 5 小段,以这 5 小段 为边可以围成一个五边形问其中最长的一段的取值范围分析 设 AB 是所围成的五边形 ABCDE 的某一边(图 110),而线段 BC,CD,DE,EA 则可看成是点 A,B 之间的一条折线,因此,ABBC+CD+DE+EA如果 AB 是最长的一段,上面的不等式关系仍然成立,从而可以求出 它的取值范围3解 设最长的一段 AB 的长度为 x 厘米,则其余 4 段的和为(10-x)厘 米由线段基本性质知 x10-x,所以 x5,即最长的一段 AB 的长度必 须小于 5 厘米例 5 若一个角的余角与这个角的补角之比是 27,求这
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