渔业资源管理问题模型.doc
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1、渔业资源管理问题模型§ 5渔业资源管理问题模型一. 问题的提出渔业资源是一种再生资源,其开发必须 适度.一种合理、简化的策略是:在实现可持 续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益.考察一个封闭式渔场中鱼量的变化.记 时刻t渔场中鱼量为x(t),关于x(t)的自然增长和 人工捕捞假设如下:在无捕捞条件下t的增长服从Logistic 规律:dtl N 丿其中r固有增长率,N为环境允许的最大 鱼量.f(x r/l-X 表示单位时间的增长量.< N丿单位时间的捕捞量(产量)与渔场 鱼量xt成正比.比例系数为k , k表示单位 时间捕捞率.试给出描述x(t变化的数学模型,并解决以 下问题
2、:1. 讨论渔场鱼量的平衡点及稳定性,给第102页出捕捞适度与捕捞过度的条件;2. 在渔场鱼量稳定在大于零的前提下, 确定获得最大持续产量时的最大产量,捕捞 强度及鱼量水平;3. 渔场鱼量稳定在大于零的前提下,确 定获得最大利润(经济效益)时的产量,捕 捞强度及鱼量水平;4. 在渔场鱼量稳定在大于零的前提下, 确定获得微薄利润时的临界强度及存在条件、鱼量水平(此时的捕捞亦称为盲目捕捞).二. xt变化的数学模型1. 设单位时间捕捞量为hx,由假设,则h x 二 kx作分解k =qE,其中k为单位时间捕捞率;E称为捕捞强度,一般用出海鱼船数量来度 量;q称为捕捞系数,表示单位强度下的捕捞 率为方
3、便起见,此处我们取q=1,则单位时间捕捞量为人( x y令 F (x A f (xh(x )= rx 1 -一 i - ExI N丿2.由假设、及上面讨论,得描述x(t)变化的数学模型为啦十1Lexdt初始条件为x0 =a由分离变量法,求得其解为:xt_ar 十(Nr - EN - ar pr )(2)三. 渔场鱼量的平衡点及稳定性1. 对于微分方程芽汀X (3)dt'/的平衡点(或奇点)及稳定性判别法:代数方程F x =0的实根x = x°为微分方程 专=Fx的平衡点(x=x °是解且律=0).若-初始条件,(3)的解xt都满足lim x t =x0 t .则称平
4、衡点Xo是稳定的(否则不稳定). 判别法则: 若F x0 <0,则平衡点xo对于方程(3)是稳定 的 若F xo 0,则平衡点xo对于方程(3)不稳定2.令 F x =0,即 rx 1 -兰-Ex = 0I N丿即xr=0得到两个平衡点:x0 = N,Xi =03.又F x竺-ENF X。=E -r若 E : r,贝 V F x0 : 0, X。点稳定;F xi 0, xi 点 不稳定.若E r,则结果正好相反.4. E是捕捞率,r是最大增长率.捕捞适度Er,渔场鱼量稳定在& ,此时持续产量hxo =EX0 ( E是可变常数)捕捞过度E r,渔场鱼量将减至Xi=O,谈不上持续产量
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