灰色预测模型GM.docx
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1、灰色预测模型Giyn,i)§ i预备知识平面上有数据序列 设回归直线为:n差平方和J = iyi i M的二元函数。由J=,2a i xI nj=、2 yi -aiXi -b L,b i ±奴i,Vi )(X2, V2广,(Xn,Vn 9,大致分布在一条直线上y=aX+b ,要使所有点到直线的距离之和最小(最小二乘),即使误-aXi -b ) 最小。J是关丁 a, b yi -'ai Xi 'b Xi = 03.T =01- nZ (Xi V aXi2 bXi卜.y ai b =0则得使J取极小的必要条件为:=0n2A Xi . b' Xi -
2、39;i兰a、 X nb = VxiYi*)n'、Xi yi L Xi Va =2XiU Xi2 - '、V、 x: _、 b =-C以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。下面提一种观点,上述算法,本质上是用实际 观测数据Xi、yi去表示a与b,使得误差平方和J取最小值,即从近似方程2XiU X2Xi2XiViXiV2X2中形式上解出a与b。把上式写成矩阵方程。ViXiV2X2Xn-Lb JiX1X2Xn则丫 = B左乘B T得注意到B B是二阶方阵,且其行歹0式不为零,故其逆阵 (B B)存在,所以上式左乘1(btb )得(2)式完全相同,下面把两种算法统=BT B 1一 BTY
3、可以具体验算按最小二乘法求得的结果(1)与(2)T:由最小二乘得结果:方程(*)a、X* 2 b t Xi = Xi Via' Xinb = V方程组改写为:V1X1令:BX2勾 Xi W Xi )广 YV' a BV 、X1X2Xn& XinJ<111 ,V】V2V2c?二bt ba?=所以a? = b以后,只要数据列= 1,2L,n伏致成直线,既有近似表达式y i = ax i bi =1,2,n当令:>11V 2X21a,B =-<VnXn1Y,a =<b J则有Y = B£(2)BT y(2)式就是最小二乘结果,即按最小二乘法求
4、出的回归直线y=ax+b的回归系数a与bo推广:多元线性回归设有m个变量xi,x2,xm ,每个自变量有n个值,因变量y有n个值如n个人,女生:1y1 =a + "1 +/21+ +bmxm12y2 = a * b1 x12 + b2 x22七、+bmxm2:J-nJn =a +bx1n + b2x2n+bmxmn、有m个指标。k x1 (体重)x2 (胸围)x3 (呼吸差)yk(肺活量)X- 公斤厘米厘米1x11 =35x21 =69x31 =0.716002x12 =40x22 =74x32 =2.526003x13 =40x23 =64x33 =2.021004x14 =42x
5、24 =74x34 =326505x15 =37x25 =72x35 =10124006x16 =45x26 =68x36 =10522007x17 =43x27 =78x37 =40327508x18 =37x28 =66x38 =216009x9 =44x29 =70x 39 =302275010x10 =42x20 =65x30 =32500(1)方程组(1)是n个方程m个数据xnx12xm1X12x 22xm2b1b2x1nx2nxmnqbm用X表示增广矩阵:n 行,m+1b2aTT,X Y = X Xab,t?,t?; JX JY =XJb1bm其中X T X为(m +1卜何+1 )
6、阶矩阵。 由此可解出:a, b1, b2,bm意思是:如果线性关系成立注意:方程组中a, b1 , b2,,bm不知,y = a bx b?x2 , bmxm当a, b1 , b2,bm为多少时,y i到a +b1x1 +b2x2 + bm xm的距离之和为最小。或说,当所有yi到(a +b1x1 +b2x2 +bm xm )距离之和为最小时的a,b1,b2,,bm就是 我们要求的最佳系数。§ 2 GM模型前言为什么要讲GM1,1)模型?80年代初,华中理工大学邓聚龙教授提出了灰色系统理论,先后发表过灰色控制、灰 色预测、灰色决策、灰色系统理论等多部专著,较详细在阐述了灰色系统理论的
7、产生、理 论、方法与应用。在80年代中后期到90年代初,举行了十数次国际、国内有关灰色系统 理论的研讨会,在全国形成一股灰色系统理论研究与应用热潮。邓聚龙先生因灰色系统理 论方面的供献,获得国家科技进步一等奖。什么叫灰?用邓先生自己的话来讲:“完全已知的系统称作白系统;完全未知的系统称作 黑系统或黑箱;部分已知、部分未知的系统称作灰色系统。”在此,已知或未知到什么程度没有具体说明。所以,“灰”的内涵不是很活楚。举个例子讲,已知某量的真值 x在闭 区问a, b上,不可能落在a, b之外,但具体落到区间a, b的什么位置则是完全不知 道的。那么,这个量称作灰量,可具体表示为 a, b,称其为区间灰
8、数。显然,区间灰数 是客观实际中存在的,除了知道真值 x在a, b上,而术在a, bZ外,不再有任何已知 信息,这就是灰量的最基本原型。由丁灰色系统理论从一开始就没有建立在严格的集合论基础之上,使之缺乏必要的数 学支撑,这大大限制了灰色系统理论和应用的发展。虽然灰色系统理论在控制、预测、决 策等领域有着广泛的应用;但就其精华而言,还在丁GM(1,1)模型。即便是现在,在特定情况下,GM(1, 1)还有用,还在被应用,并且预测效果很好。其使用限制条件是:原始数 据单调,预测背景呈现稳定发展趋势;其优势是:适用丁原始观测数据较少的预测问题, 由丁数据量很小,无法应用概率统计方法寻找统计规律,而GM
9、(1, 1)模型恰恰弥补了这个空白,由丁 GM(1, 1)算法简单易行,预测精度相对较高,所以在一些特定问题中,GM(1, 1) 仍然是决策者乐丁选择的预测模型。上面讲到的背景稳定的发展趋势是指下述情况:如化工设备的腐蚀量,随着使用时间 的推移腐蚀不断增加,呈现出稳定的发展趋势,并且腐蚀量的测量通常比较困难(如停产才能测量),所以实际观测数据较少。这类问题很适合 GM(1, 1)模型预测。§ 3 GM1, 1)预备知识3.1回忆一阶线性常系数微分方程dx ax = u dt其解为:u 顼 ux(0) -一 e -a其中a, u为给定的常数3.2在预备知识中,讲述了最小二乘法:若数据点
10、(Xi, y) i =1,2,n近似落在一条直线上,设这条直线为y= ax+b, a, b为参数。理想的直线要求:每个数据点(xi5 yi) i =1,2,n ,到该直线的距离平方和最小即最小二乘。用最小二乘法求出参数 a与b,这相当丁形式上的解线性方程组:yi = axi b i =1,2, , n当令%、父1、Vzx21,a'y =-,B =aa,a =lb Jn 1J则(3)化为Y = B9 , BTY =(BT B 罪_T J T,、. £ =(B B ) B Y(4)由此求出a'=3 ,可得回归直线<b Jy = ax + b(5)上述形式上的求解结果
11、,本质上是用最小二乘法求解回归参数的过程,故有下面结论。结论:一组数据点(n个),且近似线性关系y i : ax i b则下述表达式可求出回归系数a与boP勺/ 、a丁-1t=(Bt B ) BtY : B =x21,Y =)2a3<xnbOn上述形式上的计算,本质是使点(Xi, yi)到直线y= ax+ b的距离平方和最小,即是最小 二乘法得来的结果。§ 4GM1 , 1)模型G表小Grey(灰),M表小Model。莫型),前一个“ 1”表小一阶,后一个“1”表小一个 变量,GM(1, 1)则是一阶,一个变量的微分方程模型。给定等时间间隔的数据列,且设数据列单调:k, x(k
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