坐标轮换法汇总.docx
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1、4.7坐标轮换法1 .基本思想:每次以一个变量坐标轴作为搜索方向,将n维的优化问题转化为一维搜索问题。例,第 k轮迭代的第i次搜索,是固定除xi外的n-1个变量,沿xi变量坐标轴作一维搜索,求得极值点xi(k)n次搜索后获得极值点序列x1(k), x2(k),,xn(k),若未收敛,则开始第 k+1次迭代,直至收敛到最优点x* 。2 .搜索方向与步长:第k轮第i次搜索的方向:S的为第i个设计变量的坐标轴方 向;第k轮第i次搜索的步长:ai(k) Si(k);第k轮第i次搜索的迭代公式:xi(k)=xik)+ai(k)Si(k), i=1,2,n;第k轮第i次搜索的收敛条件:,产忖f=%3 .方
2、法评价:方法简单,容易实现。当维数增加时,效率明显下降。收敛慢,以振荡方式逼近最优点。受目标函数的性态影响很大。如图a)所示,二次就收敛到极值点;如图b)所示,多次迭代后逼近极值点;如图c)所示,目标函数等值线出现山脊(或称陡谷) ,若搜索到 A点,再沿两个坐标轴, 以土 t0步长测试,目标函数值均上升,计算机判断A点为最优点。事实上发生错误。X/ 01 XE/U) &a )b )4.8 Poweel 法1 .基本思想:若沿连接相邻两轮搜索末端的向量S方向搜索,收敛速度加快。其中:S=X2-X2因为两条平行线 S1, S2与同心椭圆族相切,两个切点的连线S直指中心。称 S1, S2与S
3、为共轲方向。目的:以共轲方向打破振荡,加速收敛。2 .共轲方向:设A为实对称正定矩阵,若有两个n维向量§和S2, 满足 S1TAs2=0,则称向量3和52是关于矩阵共轲, S,和S2的方向是共轲方向。若A为单位矩阵I,则 STIS2=。时,即S1T S2 = 0,则 6和52正交。设A为正定实对称矩阵,若有一组非零向量S1,S2,Sn,能满足 SiT ASj =0(i #j),则称这组向量是关于矩 阵A共轲。3 .共轲方向的性质: 这组关于A矩阵共腕的n个非零向量§,&,.,a是线性无关的。 若Si"),S2,,Sn是线性无关的向量组,则可以构造出n个向量
4、Si ,S2 ,Sn:满足S(2)TAS=0, (i¥j)。 设S,S2,Sn是关于A矩阵共腕的n个非零向量,对于函数f(x)分别从两个初始点xo和xo出发,沿Si(i=1,2,n)方向进行一维 搜索,分别彳#到最优点xi和X2,向量S=x2-%也是与向量组 § (i =1,2,n)中每一个向量关于A矩阵共腕。 设5,$,&是关于A矩阵共腕的n个非零向量,则对于二 次函数 T 1f (x) =C+BTX十XTAX,从任意初始点x(0)出发,依次沿 Si(i=1,2,n)方向进行一维搜索,至 多n步可收敛至极值点,称 为 二次收敛性。4 .步骤:第一轮迭代:选初始点x
5、(0),令xoC)=x(O),依次沿两个坐标轴方向S4)S2°祚两次一维搜索,分别求得f(x的极值点/)x2O构筑共轲方向:sQ= x8Lx/ )沿此方向作第三次搜索,求得f(x的极值点x3,)第二轮迭代: 令。=乂3(1),分别沿力向作两次 一维搜索,分别求得f(x的极值点为(2履2) 构筑共腕方向:S(2)= x2(2)- x0(2)沿此方向作第三次搜索,求得f (x的极值点&(2) 每轮迭代结束时,检验 是否满足收敛条件:fok1-2°若满足,贝 x* = x3(k+) o若不满足,则作下一轮 迭代。若是正定二次函数,n 轮迭代后收敛于最优点x* 。若是非正定
6、二次函数,则迭代次数增加。若是 n 维问题,步骤相同。搜索方向:第一轮迭代,沿初始方向组Si(1) (i=1,2,n)的n个方向和共轲方向 S(1),搜索n+1次得极值点 xn+1(1);第二轮迭代,沿方向组Si(2) ( i=1,2,n; iwm )的n-1个方向和共轲方向S(1),构筑共轲方向S(2)搜索n+1次得极值点xn+1(2)。其中,为保证搜索方向的线性无关,去除了Sm(2) 方向 。在第 k 轮迭代中,为避免产生线性相关或近似线性相关,需要去除前一轮中的某个方向Sm(k)。6. 方法评价:计算步骤复杂;是二次收敛方法,收敛快。对非正定函数,也很有效是比较稳定的方法。第六章约束优化
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