【小学三年级数学】小学数学奥数基础教程(三年级)16共(8页).docx
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1、小学数学奥数基础教程(三年级)本教程共30讲第16讲数阵图(在神奇的数学王国中,有一类非常有趣的数学问题,它变化多端,引 人入胜,奇妙无穷。它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对喜欢探究数 字规律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连其中,用毕生的精力来研 究它的变化,就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。那么,到底什么是数阵呢?我们先观察下面两个图:左上图中有3个大圆,每个圆周上都有四个数字,有意思的是,每个 圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了, 19九个数字 被排成三行三列,每行的三个数字之和与每列的三个数字之和, 以及每条 对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算上面两
2、个图就是数阵图。准确地说,数阵图是将一些数按照一定要求 排列而成的某种图形,有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图,可不是 一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。例1把15这五个数分别填在左下图中的方格中, 使得横行三数之和与 竖列三数之和都等于9。同学们可能会觉得这道题太容易了,七拼八凑就写出了右上图的答案,可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理, 只有 弄懂其中的道理,才可能解出复杂巧妙的数阵问题。分析与解:中间方格中的数很特殊,横行的三个数有它,竖列的三个数也 有它,我们把它叫做“重叠数”。也就是说,横行的三个数之和加上竖列的三个数之和,只有重叠数被加了两次,即重
3、叠了一次,其余各数均被加 了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。重叠数求出来了,其余各数就好填了 (见右上图)。例2把15这五个数填入下页左上图中的。里(已填入5),使两条直线 上的三个数之和相等。分析与解:与例1不同之处是已知“重叠数”为5,而不知道两条直线上 的三个数之和都等于什么数。所以,必须先求出这个“和”。根据例1的分析知,两条直线上的三个 数相加,只有重叠数被加了两遍,其余各数均被加了一遍,所以两条直线 上的三个数之和都等于(1+2+3+4+5)+5 +2=10。因此,两
4、条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩 下的四个数1, 2, 3, 4中,只有1+4=2+ 3=5。故有右上图的填法。例3把15这五个数填入右图中的。里,使每条直线上的三个数之和相 等。O-U-O6分析与解:例1是知道每条直线上的三数之和,不知道重叠数;例2是知 道重叠数,不知道两条直线上的三个数之和;本例是这两样什么都不知道。 但由例1、例2的分析知道,(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和X 2,所以,每条直线上三数之和等于(15+重叠数)+2。因为每条直线上的三数之和是整数,所以重叠数只可能是1, 3或5若“重叠数” =1,则两条直线上三数之和为(15+1
5、) +2=8。填法见左下图;若“重叠数” =3,则两条直线上三数之和为(15+3) +2=9。填法见下中图;若“重叠数” =5,则两条直线上三数之和为(15+5) +2=10。填法见右下图。(5)由以上几例看出,求出重叠数是解决数阵问题的关键。 为了进一步学 会掌握这种解题方法,我们再看两例。例4将17这七个自然数填入左下图的七个。内, 使得每条边上的三个数之和都等于10分析与解:与例1类似,知道每条边上的三数之和,但不知道重叠数。因 为有3条边,所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+ - +7)+重叠数 X 2=10X 3。由此得出重叠数为10 X3-(1+2+ +7) +2=1。剩
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