最新山东省北镇中学高一数学必修3教案:3+《算法案例》2名师优秀教案.doc
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1、2013年山东省北镇中学高一数学必修3教案:1.3 算法案例2导入新课 思路1(情境导入) 大家都喜欢吃苹果吧,我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃,而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃,由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式5432f(x)=x+x+x+x+x+1当x=5时的值呢,方法也是多种多样的,今天我们开始学习秦九韶算法. 思路2(直接导入) 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术, 今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 5432(1)求多项式f(x)=x+x+x+x+x+1当x=5时的值有哪些方法,比较它们的特点. (2)什么是秦九韶算法, (3
2、)怎样评价一个算法的好坏, 讨论结果: 5432(1)怎样求多项式f(x)=x+x+x+x+x+1当x=5时的值呢, 一个自然的做法就是把5代入多项式f(x),计算各项的值,然后把它们加起来,这时,我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算. 2222 另一种做法是先计算x的值,然后依次计算x?x,(x?x)?x,(x?x)?x)?x的值,这样每次都可以利用上一次计算的结果,这时,我们一共做了4次乘法运算,5次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能够提高运算效率,对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用第二种做法,计
3、算机能更快地得到结果. (2)上面问题有没有更有效的算法呢,我国南宋时期的数学家秦九韶(约12021261)在他的著作数书九章中提出了下面的算法:nn-1 把一个n次多项式f(x)=ax+ax+ax+a改写成如下形式: nn-110nn-1f(x)=ax+ax+ax+a nn-110n-1n-2=(ax+ax+a)x+ ann-110n-2n-3=(ax+ax+a)x+a)x+a nn-1210= =(ax+a)x+a)x+a)x+a. nn-1n-210求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v=ax+a, 1nn-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v=vx+a, 2
4、1n-2v=vx+a, 32n-3 v=vx+a, nn-10这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. (3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快,但即便如此,算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数,那么这样的算法就只能是一个理论的算法. 应用示例 5432例1 已知一个5次多项式为f(x)=5x+2x+3.5x-2.6x+1.7x-0.8, 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值. 解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=(5
5、x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8, 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=5时的值: v=5; 0v=55+2=27; 1v=275+3.5=138.5; 2v=138.55-2.6=689.9; 3v=689.95+1.7=3 451.2; 4v=3 415.25-0.8=17 255.2; 5所以,当x=5时,多项式的值等于17 255.2. 算法分析:观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见v的计算要用到v的值,若令v=a,kk-10n我们可以得到下面的公式: va,0n ,vvxa(k1,2,?,n).,,,kk,1n,k,这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤
6、,因此可用循环结构来实现. 算法步骤如下: 第一步,输入多项式次数n、最高次的系数a和x的值. n第二步,将v的值初始化为a,将i的值初始化为n-1. n第三步,输入i次项的系数a. i第四步,v=vx+a,i=i-1. i第五步,判断i是否大于或等于0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v. 程序框图如下图: 程序: INPUT “n=”;nINPUT “an=”;a INPUT “x=”;x v=a i=n-1 WHILE i,=0 PRINT “i=”;i INPUT “ai=”;a v=v*x+ai=i-1 WEND PRINT v END 点评:本题是古老算法与现代计算机语言的
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