四年级奥林匹克数学基础资料库 第17讲 数阵图(二) 试题.doc
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1、第17讲 数阵图(二)例1在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。解:由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数(含x)。因为九个数都不大于12,由16x12知4x,由x+212知x10,即4x10。考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10。经验证,当x6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意;当x4或10时可得两个解(见下图)。这两个解实际上一样,只是方向不同而已。例2将九个数填入右图的空格中,使得
2、每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有证明:设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2db,右下角的数为2d-c(见下图)。根据第一行和第三列都可以求出上图中处的数由此得到3d-c-(2d-b)3d-a-(2d-c),3d-c-2db3d-a-2dc,dcbdac,2cab,abc2。值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数;可以相同,也可以不同。例3在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。解:由上一讲例4知,中心数为90330
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