完整版微分方程初值问题求解matlab试验.docx
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1、数学建模与数学实验课程实验报告实验名称微分方程初值问题求解matlab实验班级学号姓名序号任课教师实验地点数学实验中心评分一、实验目的1、 学习简单问题的常微分方程建模。2、 学习并理解食饵-捕食者模型;3、 掌握微分方程(组)初值问题的 matlab数值求解;二、实验要求和结果1.地中海鲨鱼问题意大利生物学家 Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究,他从A次世界大战 期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中,发现鲨鱼等的比例有明显增加(见下表),而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降,食用鱼增加,鲨鱼等也随之增加,但为何鲨鱼的比例大幅增加呢?年代191
2、41915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.71 .符号说明:Xl(t)食饵在t时刻的数量;X2(t)捕食者在t时刻的数量;r1 食饵独立生存时的增长率;r2 捕食者独自存在时的死亡率;A 捕食者掠取食饵的能力;一2 食饵对捕食者的供养能力 .e一捕获能力系数2 .基本假设:(1)食饵由于捕食者的存在使增长率降低,假设降低的程度与捕食者数量成正比;(2)捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长,假定增长 的程度与食饵数量成正比。3 .模型建立与求解模型(一
3、)不考虑人工捕获dxz.、=”(1 也)dtdX2,小、一 X2(T2 十九2X1)dt针对一组具体的数据用Matlab软件进行数值求解,画出食饵和捕食者图形以及相轨线图.设食饵和捕食者的初始数量分别为 x1 (0) = x1o , X2(0) = x20对于数据1 =1 1 =0.1/2 =0.5, 2 =0.02,Xi = 25,X20 = 2,t的终值经试验后确定为15,即模型为:Xx1 X1 (1 - 0.1X2) x2 = x2 (-0.50.02x1)x1(0) =25,x2(0) =2解:Matlab运行首先建立 M文件fun.m如下:function dx=fun(t,x)dx
4、=zeros(2,1)dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);然后,输入以下命令:t,x=ode45( fun ,0 15,25 2);plot(t,x(:,1), - ,t,x(:,2), *)plot(x(:,1),x(:,2)X1(t)和X2(t)的曲线图如下Q51015100 90 80 70 50 40 30 20 10 0食饵捕食者图形相轨线y(x)的图形如下:010203c 版 融 60703000 1g数值结果为 t=77*1double, x=77*2double.该模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之
5、间的制约关系,没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用,是最简单的模型。食饵的量增加,捕食者也随之增加;食饵的量减少,捕食者的量也随之减少。可以猜想Xl(t)和X2 都是周期函数。而且它们的循环是有一定周期的。模型(二)考虑人工捕获设表示捕获能力的系数为e,相当于食饵的自然增长率由ri降为r1-e ,捕食者的死亡率由r2增为r2+edxiXi(ri -e) -1X2 dt dx2X2-(2 e)2X1dt仍取 r 二1, =0.1,r2 -0.5, 2 =0.02,x1(0) = 25, x2(0) =2设战前捕获能力系数 e=0.3,dx1/= X1(0.7-0.1X2) dxo= x2 (-0.
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