最新【DOC】-数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学优秀名师资料.doc
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1、【DOC】-数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学 数列专题复习 一、等差数列的有关概念: 1、等差数列的判断方法:定义法an,1,an d(d为常数)或an,1,an an,an,1(n 2)。 a1,a2, ,an n 如设an是等差数列,求证:以bn=等差数列。 n N*为通项公式的数列bn为 2、等差数列的通项:an a1,(n,1)d或an am,(n,m)d。如(1)等差数列an中,a10 30,a20 50,则通项an 2n,10); (2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是_(答: 83
2、d 3) 3、等差数列的前n和:Sn n(a1,an) 2 12 ,Sn na1, * n(n,1) 232 d。 如(1)数列 an中,an an,1,(n 2,n N),an ,前n项和Sn , 152 , 则a1, ,,n,(答:a1 ,3,n 10); 2 (2)已知数列 an的前n项和Sn 12n,n,求数列|an|的前n项和Tn(答: 2* 12n,n(n 6,n N) ). Tn 2* n,12n,72(n 6,n N) 4、等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A a,b2 。 提醒:(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、
3、an及 Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个, 即知3求2。(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为,,;偶数个数成等差,可设为,,a,2d,a,d,a,a,d,a,2d,(公差为d) a,3d,a,d,a,d,a,3d,(公差为2d) 5、等差数列的性质: (1)当公差d 0时,等差数列的通项公式an a1,(n,1)d dn,a1,d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n和Sn na1,函数且常数项为0. 1 / 13 n(n,1)2 d d2 n,(a1, 2 d2 )n是关于n的二次 (2)若公差d 0,则为递增等差
4、数列,若公差d 0,则为递减等差数列,若公差d 0,则为常数列。 (3)当m,n p,q时,则有am,an ap,aq,特别地,当m,n 2p时,则有 am,an 2ap. 如(1)等差数列an中,Sn 18,an,an,1,an,2 3,S3 1,则n,_(答:27); (4) 若an、bn是等差数列,则kan、kan,pbn (k、p是非零常数)、,也成等差数列,而an成等比数列;若anSn,S2n,Sn,S3n,S2n ,ap,nq(p,q N)、 是等比数列,且an 0,则lgan是等差数列. 如等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为 。(答:225) (5)在
5、等差数列an中,当项数为偶数2n时,S偶,S奇 nd;项数为奇数2n,1时, S奇,S偶 a中,S2n,1 (2n,1) a中(这里a中即an);S奇:S偶 n:,n-1,。 * a 如(1)在等差数列中,S11,22,则a6,_(答:2); (2)项数为奇数的等差数列an中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). (6)若等差数列an、bn的前n和分别为An、Bn,且 anbn (2n,1)an(2n,1)bn A2n,1B2n,1SnTn AnBn f(n),则 它们的前n项和分 f(2n,1).如设an与bn是两个等差数列, 别为Sn和Tn,若 3n,1
6、4n,3 ,那么 anbn _(答: 6n,28n,7 ) (7)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和;“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组 an 0 an 0 确定出前多少项为非负(或非正);法二:因等差数列前n 或 an,1 0 an,1 0 * 项是关于 n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性n N。上述两种 方法是运用了哪种数学思想,(函数思想),由此你能求一般数列中的最大或最小项吗, 如(1)等差数列an中,a1 25,S9 S17,问此数列前多少项和最大,并求此最大 2 / 13 值。(答:前13
7、项和最大,最大值为169); (2)若an是等差数列,首项a1 0,a2003,a2004 0,a2003 a2004 0,则使前n项和 Sn 0成立的最大正整数n4006) (3)在等差数列 an 中,a10 0,a11 0,且a11 |a则( ) |,Sn是其前n项和,10A、S1,S2 S10都小于0,S11,S12 都大于0 B、S1,S2 S19都小于0,S20,S21 都大于0 C、S1,S2 S5都小于0,S6,S7 都大于0 D、S1,S2 S20都小于0,S21,S22 都大于0 (答:B) (8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,且新等
8、差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其项数不一定相同,即研究an bm. 二、等比数列的有关概念: 1、等比数列的判断方法:定义法 an,1an anan,1 (n 2)。 an,1an q(q为常数),其中q 0,an 0或 如(1)一个等比数列an共有2n,1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则an,1为_);(2)数列an中,Sn=4an,1+1 (n 2)且a1=1,若bn an,1,2an , 65 求证:数列,bn,是等比数列。 2、等比数列的通项:an a1qn,1或an amqn,m。 如等比数列an中,a1,an 66,a2an,
9、1 128,前n项和Sn,126,求n和q.(答: n 6,q 12 或2) a1(1,q)1,q n 3、等比数列的前n和:当q 1时,Sn na1;当q 1时,Sn a1,anq1,q 。 等比数列中,q,2,S99=77,求a3,a6, ,a99(答:44); 如(1)10 n (2) ( Cnk)的值为_(答:2046); n 1 k 0 3 / 13 特别提醒:等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n项和时,首先要判断公比q是否为1,再由q的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否为1时,要对q分q 1和q 1两种情形讨论求解。 4、等比中项:若a,A,b成等比数列,
10、那么A叫做a与b的等比中项。提醒:不是任何 两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个。如已知两个正数 a,b(a b)的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为_(答:A,B) 提醒:(1)等比数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、q、n、an及 Sn,其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个, 即知3求2;(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为,,aq2 , aq 2 ;但偶数个数成等比时,不能设为,a,aq,aq,(公比为q) aq 3 , aq ,aq,aq,,, 3 因公比不一定为正数,只有
11、公比为正时才可如此设,且公比为q2。如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16) 5.等比数列的性质: (1)当m,n p,q时,则有am an ap aq,特别地,当m,n 2p时,则有am an ap. 2 如(1)在等比数列an中,a3,a8 124,a4a7 ,512,公比q是整数,则a10=_(答:512); (2)各项均为正数的等比数列an中,若a5 a6 9,则olg(答:10)。 (2) 若an是等比数列,则|an|、ap,nq(p,q N)、kan成
12、等比数列;若 an、bn成等比数列,则anbn、 * 31 aolg, 32 a,olg , 301 a anbn 成等比数列; 若an是等比数列,且公比q ,1, 则数列Sn,S2n,Sn,S3n,S 2n ,,也是等比数列。当q ,1,且n为偶数时,数列 Sn,S2n,Sn,S3n,S2n ,,是常数数列0,它不是等比数列. 如(1)已知a 0且a 1,设数列xn满足logaxn,1 1,logxn(n N*),且a 4 / 13 x1,x2, ,x100 100,则x101,x102, ,x200 . (答:100a 100 ); (2)在等比数列an中,Sn为其前n项和,若S30 13
13、S10,S10,S30 140,则S20 的值为_(答:40) (3)若a1 0,q 1,则an为递增数列;若a1 0,q 1, 则an为递减数列;若则an为递减数列;若a1 0,0 q 1, 则an为递增数列;若q 0,a1 0,0 q 1 , 则an为摆动数列;若q 1,则an为常数列. (4) 当q 1时,Sn ,a11,q n q, a11,q aq n ,b,这里a,b 0,但a 0,b 0, 是等比数列前n项和公式的一个特征,据此很容易根据Sn,判断数列an是否为等比数列。 如若an是等比数列,且Sn 3n,r,则r,(答:,1) mn (5) Sm,n Sm,qSn Sn,qSm
14、.如设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn, 若Sn,1,Sn,Sn,2成等差数列,则q的值为_(答:,2) (6) 在等比数列an中,当项数为偶数2n时,S偶 qS奇;项数为奇数2n,1时, S奇 a1,qS偶. (7)如果数列an既成等差数列又成等比数列,那么数列an是非零常数数列,故常数数列an仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如设数列 an 的前n项和为Sn(n N), 关于数列 an 有下列三个命题:?若 an an,1 (n N),则 an 既是等差数列又是等比数列;?若Sn an n 2 ,bn,a、b R,, 则 an 是等差数列;?若Sn 1,1,,则
15、an 是等比数列。这些命题中,真命题的序号是 (答:?) 三、数列通项公式的求法 一、公式法 (n 1) S1 ?an ; S,S(n 2)n,1 n ? an 等差、等比数列 an 公式. 5 / 13 例 已知数列an满足an,1 2an,3 2n,a1 2,求数列an的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式an,1 2an,3 2n转化为 an2 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出n an2 n an,12 n,1 , an2 n 32 ,说明数列 1,(n,1) 32 ,进而求出数列 an的通项公式。 二、累加法 例 已知数列an满足an,1 an,2n,1,a1 1
16、,求数列an的通项公式。 评注:本题解题的关键是把递推关系式an,1 an,2n,1转化为an,1,an 2n,1,进而求出(an,an,1),(an,1,an,2), ,(a3,a2),(a2,a1),a1,即得数列an的通项公式。 n 例 已知数列an满足an,1 an,2 3,1,a1 3,求数列an的通项公式。 nn 评注:本题解题的关键是把递推关系式an,1 an,2 3,1转化为an,1,an 2 3,1, 进而求出an (an,an,1),(an,1,an,2), ,(a3,a2),(a2,a1),a1,即得数列an的通项公式。 三、累乘法 n 例 已知数列an满足an,1 2(
17、n,1)5 an,a1 3,求数列an的通项公式。 n 评注:本题解题的关键是把递推关系an,1 2(n,1)5 an转化为 an,1an 2(n,1)5,进而求 n 出 an an,1an,2 an,1 a3a2 a1,即得数列an的通项公式。 a2a1 四、取倒数法 例 已知数列an中,其中a1 1,,且当n?2时,an an,12an,1,1 1an 1an,1 an,12an,1,1 1an ,求通项公式an。 解 将an 两边取倒数得:, 2,这说明是一个等差数列, 6 / 13 首项是 1a1 1,公差为2,所以 1an 1,(n,1) 2 2n,1,即an 12n,1 . 五、待
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