最新高中理科数学解题方法篇(待定系数法)优秀名师资料.doc
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1、待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。(表示恒等于)待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几
2、何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法,它解题的基本步骤是:第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。待定系数法是中学数学中的一种重要方法,它在平面解析几何中有广泛的应用(一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点,使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5,求此直线的方程【解】 设所求的直线方程为(x-2y-3)+(2x-3y-2)=0,整理,得依题意,列方程得 于是所求的直线方程为 8x-5y20
3、=0或2x-5y-10=0【解说】 (1)本解法用到过两直线交点的直线系方程,是待定系数(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法例2 如图29,直线l1和l2相交于点M,l1l2,点Nl1,以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若系,求曲线C的方程【解】 如图29,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系由已知,得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段,其中点A、B为曲线C的端点设曲线C的方程为y2=2px,p0(x1xx2,y0)其中,x1、x2分别是A、B的横坐标,p=|MN|从而M、N解之,得p=4,x1=1故曲线C的方程为y2
4、=8x (1x4,y0)(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2bxycy2=0表示两条不重合的直线L1、L2求:(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程;(2)直线L1与L2的夹角的大小【解】 设L1、L2的方程分别为mxny=0、qxpy=0,则ax2+bxycy2(mx+ny)(qx+py)从而由待定系数法,得amq,bmpnq,c=np(1)由点到直线的距离公式,得所求的角平分线方程为 即(m2n2)(qxpy)2=(q2+p2)(mxny)2,化简、整理,得 (nq-mp)(nqmp)x22(np-mq)xy-(nqmp)y2=0 L1、L2是两条不
5、重合的直线b2-4ac(mp+nq)2-4mnpq=(mpnq)20即 mp-nq0从而(nqmp)x22(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0把 mq=a,mp+nq=b,np=c代入上式,得 bx2+2(c-a)xy-by20即为所求的两条角平分线方程(2)显然当mqnp=0,即a+c=0时,直线L1与L2垂直,即夹角为90当mqnp0即ac0时,设L1与L2的夹角为,则【解说】 一般地说,研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质,用待定系数法较为简便(三)探讨二次曲线的性质1证明曲线系过定点例4 求证:不论参数t取什么实数值,曲线系(4t2t1)x2+(t1)y24t(t1)y-(
6、109t221t+31)=0都过两个定点,并求这两个定点的坐标【证明】 把原方程整理成参数t的方程,得(4x24y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2y2-31=0 t是任意实数上式都成立,【解说】 由本例可总结出,证明含有一个参数t的曲线系F(x,y,t)=0过定点的步骤是:(1)把F(x,y,t)=0整理成t的方程;(2)因t是任意实数,所以t的各项系数(包括常数项)都等于零,得x、y的方程组;(3)解这个方程组,即得定点坐标2求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2y2-2(2m1)x-2my4m24m1=0(m0)的公切线方程【解】 将圆系方程整理为x-(2m+1)2(y-
7、m)2=m2(m0)显然,平行于y轴的直线都不是圆系的公切线设它的公切线方程为 y=kxb,则由圆心(2m1,m)到切线的距离等于半径|m|,得从而(1-2k)m-(kb)2m2(1k2),整理成m的方程,得 (3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0 m取零以外的任意实数上式都成立,【解说】 由本例可总结出求圆系F(x,y,m)=0的公切线方程的步骤是:(1)把圆系方程化为标准方程,求出圆心和半径;(2)当公切线的斜率存在时,设其方程为y=kxb,利用圆心到切线的距离等于半径,求出k、b、m的关系式f(k,b,m)=0;(3)把f(k,b,m)=0整理成参数m的方程G
8、(m)=0由于mR,从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零,得k、b的方程组;(4)解这个方程组,求出k、b的值;(5)用同样的方法,可求出x=a型的公切线方程3化简二元二次方程例6 求曲线9x24y218x-16y-11=0的焦点和准线【分析】 把平移公式x=xh,y=yk,代入原方程化简【解】 (略)例7 已知函数y的最大值为7,最小值为1,求此函数式。【分析】求函数的表达式,实际上就是确定系数m、n的值;已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。【解】 函数式变形为: (ym)x4x(yn)0, xR, 由已知得ym0 (
9、4)4(ym)(yn)0 即: y(mn)y(mn12)0 不等式的解集为(-1,7),则1、7是方程y(mn)y(mn12)0的两根,代入两根得: 解得:或 y或者y此题也可由解集(-1,7)而设(y1)(y7)0,即y6y70,然后与不等式比较系数而得:,解出m、n而求得函数式y。【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定,首先用“判别式法”处理函数值域问题,得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数m、n。两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m、n的方程求解;二是由已知解集写出不等式,比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不
10、等式的解集概念理解透彻,也要求理解求函数值域的“判别式法”:将y视为参数,函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程,可知其有解,利用0,建立了关于参数y的不等式,解出y的范围就是值域,使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。例8. 设椭圆中心在(2,-1),它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是,求椭圆的方程。【分析】求椭圆方程,根据所给条件,确定几何数据a、b、c之值,问题就全部解决了。设a、b、c后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为ac的值后列出第二个方程。【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c
11、,则|BF|a 解得: 所求椭圆方程是:1也可有垂直关系推证出等腰RtBBF后,由其性质推证出等腰RtBOF,再进行如下列式: ,更容易求出a、b的值。【注】 圆锥曲线中,参数(a、b、c、e、p)的确定,是待定系数法的生动体现;如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式。在曲线的平移中,几何数据(a、b、c、e)不变,本题就利用了这一特征,列出关于ac的等式。一般地,解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是:设方程(或几何数据)几何条件转换成方程求解已知系数代入。例9. 是否存在常数a、b、c,使得等式1223n(n1)(anbnc)对一切自然数n都成立?并证明你的结论。
12、(89年全国高考题)【分析】是否存在,不妨假设存在。由已知等式对一切自然数n都成立,取特殊值n1、2、3列出关于a、b、c的方程组,解方程组求出a、b、c的值,再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。【解】假设存在a、b、c使得等式成立,令:n1,得4(abc);n2,得22(4a2bc);n3,得709a3bc。整理得:,解得,于是对n1、2、3,等式1223n(n1)(3n11n10)成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数n,该等式都成立:假设对nk时等式成立,即1223k(k1)(3k11k10);当nk1时,1223k(k1)(k1)(k2)(3k11k10) (k1)(k2)(k
13、2)(3k5)(k1)(k2)(3k5k12k24)3(k1)11(k1)10,也就是说,等式对nk1也成立。综上所述,当a8、b11、c10时,题设的等式对一切自然数n都成立。【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中,也体现了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时,可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列12n、12n求和的公式,也可以抓住通项的拆开,运用数列求和公式而直接求解:由n(n1)n2nn得S1223n(n1)(12n)2(12n)(12n)2(3n11n10),综上所述,当a8、b11、c10时,题设的等式对
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