cy52常微分方程初值问题(二).docx
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1、cy52常微分方程初值问题(二) cy52常微分方程初值问题(二) 第五章常微分方程初值问题数值解法(二)第五节线性多步法 第六节 方程组和高阶方程 上页下页返回 cy52常微分方程初值问题(二) 5线性多步法 当b-10时,为隐式公式;b-1=0则为显式公式.用若干节点处的y及y值的线性组合来近似fj=f(xj,yj) y(xi+1).其通式可写为: yi+1=a0yi+a1yi-1+.+akyi-k+h(b-1fi+1+b0fi+b1fi-1+.+bkfi-k) 基于数值积分的构造法将y=f(x,y)在上积分,得到 y(xi+1)-y(xi)= xi+1xi f(x,y(x)dxxi+1i
2、 只要近似地算出右边的积分Ikf(x,y(x)dx,则可通x过yi+1=yi+Ik近似y(xi+1).而选用不同近似式Ik,可得到不同的计算公式. 上页下页返回 cy52常微分方程初值问题(二) 亚当姆斯显式公式利用k+1个节点上的被积函数值fi,fi-1,.,fi-k构造k阶牛顿后插多项式Nk(xi+th),t,有 xi+1xi f(x,y(x)dx=Nk(xi+th)hdt+Rk(xi+th)hdt00 1 1 yi+1=yi+hNk(xi+th)dt0 1 /*显式计算公式*/Newton1 局部截断误差为:Ri=y(xi+1)-yi+1=hRk(xi+th)dt0 插值余项 例:k=1
3、时有N1(xi+th)=fi+tfi=fi+t(fi-fi-1)hyi+1=yi+hdt=yi+(3fi-fi-1)0221df(,y()153xxRi=hth(t+1)hdt=hy(i)201 上页下页返回 dx 2! 12 51238251720 常用的是k=3的4阶亚当姆斯显式公式yi+1h=yi+(55fi-59fi-1+37fi-2-9fi-3)24上页下页返回 cy52常微分方程初值问题(二) 亚当姆斯隐式公式利用k+1个节点上的被积函数值fi+1,fi,fi-k+1构造k阶牛顿后插多项式.与显式多项式完全类似地可得到一系列隐k+2(k+2)式公式,并有Ri=Bkhy(i),其中B
4、k与fi+1,fi,fi-k+1的系数亦可查表得到.k01fi+1112512924128121924 fi fi-1 fi-2 Bk12 小于Bk112524124 - 112 23 12419720 常用的是k=3的4阶亚当姆斯隐式公式yi+1=yi+h(9fi+1+19fi-5fi-1+fi-2)24 较同阶显式稳定上页下页返回 cy52常微分方程初值问题(二) 亚当姆斯预估-校正系统Predicted留意:三步所用公valuepi+1Step1:用Runge-Kutta法计算前k个初值;式的精度必需相同。通常用经典RungeStep2:用Adams显式计算预估值;Kutta法协作4阶A
5、dams公式。Step3:用同阶Adams隐式计算校正值。2515(5)hy(i)4阶Adams显式公式的截断误差为7 20XX5(5)y(x)y=hy(i)4阶Adams隐式公式的截断误差为i+1i+1720y(x)-y251当h充分小时,可近似认为ii,则:y(xi+1)-yi+1-19i+1i+1y(xi+1)-yi+1= 251(yi+1-yi+1)27019y(xi+1)yi+1(yi+1-yi+1)270y(xi+1)yi+1+ 外推技术ModifiedfinalCorrectedModified/*extrapolation*/valuevalueyci+1valuemi+1i+
6、1 上页下页返回 cy52常微分方程初值问题(二) 基于泰勒绽开的构造法yi+1=a0yi+a1yi-1+.+akyi-k+h(b-1fi+1+b0fi+b1fi-1+.+bkfi-k) 将通式中的右端各项yi-1,yi-k;fi+1,fi-1,fi-k分别在xi点作泰勒绽开,与精确解y(xi+1)在xi点的泰勒绽开作比较.通过令同类项系数相等,得到足以确定待定系数a0,ak;b-1,b0,bk的等式,则可构造出线性多步法的公式.上页下页返回 cy52常微分方程初值问题(二) 例:设yi+1=a0yi+a1yi-1+a2yi-2+h(b0y+b1y+b2y+b3yii-1i-2i-3)确定式中
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