最新[生活]数学归纳法经典例题详解优秀名师资料.doc
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1、生活数学归纳法经典例题详解例1(用数学归纳法证明: 1111n( ,?,,,1,33,55,72n,12n,12n,1请读者分析下面的证法: 1111证明:?n=1时,左边,,右边,,左边=右边,等式成立(1,332,13?假设n=k时,等式成立,即: 1111k( ,?,,,1,33,55,72k,12k,12k,1那么当n=k+1时,有: 11111 ,?,1,33,55,72k,12k,12k,12k,3,1111111111, ,1,,,,,,?,,,,2335572k,12k,12k,12k,3,,1112k,2, ,1,22k,322k,3,k,1k,1, ,2k,32k,1,1这
2、就是说,当n=k+1时,等式亦成立( 由?、?可知,对一切自然数n等式成立( 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的,这是一种假证,假就假在没有利用归纳假设n=k这一步,当n=k+1时,而是用拆项法推出来的,这样归纳假设起到作用,不符合数学归纳法的要求(正确方法是:当n=k+1时( 11111,?, ,1,33,55,72k,12k,12k,12k,3k1,, ,2k,12k,12k,322k,3k,12k,1k,1, ,,2k,12k,32k,12k,3k,1k,1 ,,2k,32k,1,1这就说明,当n=k+1时,等式亦成立, 例2(是否存在一个等差数列a,使得对任何自然数n,等式:
3、 na+2a+3a+na=n(n+1)(n+2) 123n都成立,并证明你的结论( 分析:采用由特殊到一般的思维方法,先令n=1,2,3时找出来a,然后再证明一般性( n解:将n=1,2,3分别代入等式得方程组( a,6,1,a,2a,24, ,12,a,2a,3a,60123,解得a=6,a=9,a=12,则d=3( 123故存在一个等差数列a=3n+3,当n=1,2,3时,已知等式成立( n下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a=3n+3,对大于3的自然数,等式na+2a+3a+na=n(n+1)(n+2)都成立( 123n因为起始值已证,可证第二步骤( 假设n=k时,等式成立,即 a+2
4、a+3a+ka=k(k+1)(k+2) 123k那么当n=k+1时, a+2a+3a+ka +(k+1)a 123kk+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)3(k+1)+3 2=(k+1)(k+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+1)+1(k+1)+2 这就是说,当n=k+1时,也存在一个等差数列a=3n+3使a+2a+3a+na=n(n+1)(n+2)成立(n123n综合上述,可知存在一个等差数列a=3n+3,对任何自然数n,等式a+2a+3a+na=n(n+1)(n+2)n123n都成立( 111例3(证明不等式 (n?N)( 1,?,,2n23n证
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