最新【四川】高考数学文二轮复习:专题7-第3讲《概率、随机变量及其分布列》考点精讲精练及答案优秀名师资料.doc
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1、【四川】2014高考数学(文)二轮复习:专题7-第3讲概率、随机变量及其分布列考点精讲精练及答案【备课大师网】-在线备课,全站免费无需注册,天天更新 第三讲 概率、随机变量及其分布列 1( 古典概型和几何概型 (1)古典概型的概率: A中所含的基本事件数mP(A),. n基本事件总数(2)几何概型的概率: 构成事件A的区域长度,面积或体积,P(A),. 试验的全部结果所构成的区域长度,面积或体积,2( 互斥事件与对立事件的关系 (1)对立是互斥,互斥未必对立; (2)如果事件A,B互斥,那么事件A,B发生(即A,B中有一个发生)的概率,等于事件A,B分别发生的概率的和,即P(A,B),P(A)
2、,P(B)(这个公式称为互斥事件的概率加法公式( (3)在一次试验中,对立事件A和A不会同时发生,但一定有一个发生,因此有P(A),1,P(A)( 3( 条件概率 在A发生的条件下B发生的概率: P,AB,P(B|A),. P,A,4( 相互独立事件同时发生的概率 P(AB),P(A)P(B)( 5( 独立重复试验 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 ,kknkP(k),Cp(1,p),k,0,1,2,n. nn6(离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量可能取的值为x,x,x,取每一个值x的概率为P(12ii,x),p,则称下表: ii
3、 x x x x 123i P p p p p 123i为离散型随机变量的分布列( (2)离散型随机变量的分布列具有两个性质:?p?0,?p,p,p,,1(i,i12i1,2,3,)( 7( 常见的离散型随机变量的分布 :/ 【备课大师网】-在线备课,全站免费无需注册,天天更新 (1)两点分布 分布列为(其中0p1) 0 1 1,p P p (2)二项分布 在n次独立重复试验中,事件A发生的次数是一个随机变量,其所有可能取的值为,kknk0,1,2,3,n,并且P(,k),Cpq(其中k,0,1,2,n,q,1,p)( nn,kknk显然P(,k)?0(k,0,1,2,n),?Cpq,1. n
4、,k0称这样的随机变量服从参数n和p的二项分布,记为,B(n,p)( 8( 离散型随机变量的期望 若离散型随机变量的分布列为 x x x 12n P p p p 12n1( (2013?四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) 1137A. B. C. D. 4248答案 C 解析 设在通电后的4秒钟内甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮0?x?4,0?y?4的时刻为x、yx、y相互独立由题意可知,如,|x,y|?2,图所
5、示(?两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x,y|?2),144,2222S,2S正方形?123ABC,. 164S44正方形2( (2012?广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是 ( ) 4121A. B. C. D. 9399答案 D 解析 个位数与十位数之和为奇数则个位数与十位数中必有一个奇数一个偶数所以可以分两类( :/ 【备课大师网】-在线备课,全站免费无需注册,天天更新 (1)当个位为奇数时有54,20(个)符合条件的两位数( (2)当个位为偶数时有55,25(个)符合条件的两位数( 因此共有20,25,45(个)符合条件的两位数其
6、中个位数为0的两位数有5个所以所51求概率为P,. 4593( (2013?广东)已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 331 P 51010则X的数学期望E(X)等于 ( ) 35A. B(2 C. D(3 22答案 A 3313解析 E(X),1,2,3,. 5101024( (2013?课标全国?)从n个正整数1,2,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之 1和等于5的概率为,则n,_. 148 答案解析 由题意知取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况?在n个数中任意n,n,1,12取出两个不同的数的总情况应该是C,2?,28?n,8. n2145( (2013?江苏)
7、现有某类病毒记作XY,其中正整数m,n(m?7,n?9)可以任意选取,则 mnm,n都取到奇数的概率为_( 20答案 634520解析 P,. 6379题型一 古典概型与几何概型 例1 (1)(2013?上海)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是_(结果用最简分数表示)( 3(2)在区间0,2上任取两个实数a,b,则函数f(x),x,ax,b在区间,1,1上有且仅有一个零点的概率是 ( ) 1137A. B. C. D. 8448审题破题 (1)古典概型可关注所取球编号的奇偶,(2)几何概型可先用定积分求出阴影部分面积
8、( 13答案 (1) (2)D 18:/ 【备课大师网】-在线备课,全站免费无需注册,天天更新 2C135解析 (1)9个数5个奇数4个偶数根据题意所求概率为1,. 2C189(2) 2因为f(x),3x,a由于a?0故f(x)?0恒成立 故函数f(x)在,1,1上单调递增故函数f(x)在区间,1,1上有且只有一个零点的充要条,f,,1,?0a,b,1?0,件是即 ,f,1,?0a,b,1?0.,0?a?2,设点(ab)则基本事件所在的区域是画出平面区域如图所示根据几何 ,0?b?2,概型的意义所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值7这个比值是.故选D. 8反思归纳
9、(1)?有关古典概型的概率问题关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数这常常用到排列、组合的有关知识,?对于较复杂的题目要注意正确分类分类时应不重不漏, (2)?当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时应考虑使用几何概型求解,?利用几何概型求概率时关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找有时需要设出变量在坐标系中表示所需要的区域( 变式训练1 (1)(2012?辽宁)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别2等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32 cm的概率为 ( ) 1124A. B. C. D. 6335答案 C 解析
10、设AC,xCB,12,x 所以x(12,x)8或x4 4,42又因为0x2),0.5, :/ 【备课大师网】-在线备课,全站免费无需注册,天天更新 X,1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟( 所以P(X,1),P(Y,1)P(Y1),P(Y,2),0.10.9,0.4,0.49, X,2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟 所以P(X,2),P(Y,1)P(Y,1),0.10.1,0.01. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 E(X),00.5,10.49,20.01,0.5
11、1. 反思归纳 (1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件然后综合应用各类求概率的公式求出概率( (2)求随机变量的期望的关键是正确求出随机变量的分布列若随机变量服从二项分布则可直接使用公式求解( 变式训练3 (2013?天津)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)( (1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率; (2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望( 1322CC,CC6252
12、5解 (1)设“取出的4张卡片中含有编号为3的卡片”为事件A则P(A),. 4C776所以取出的4张卡片中含有编号为3的卡片的概率为. 7(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4. 33C1C434P(X,1),P(X,2), 44C35C357733C2C456P(X,3),P(X,4),. 44C7C777所以随机变量X的分布列是 X 1 2 3 4 1424 P 353577142417随机变量X的数学期望E(X),1,2,3,4,. 3535775典例 (12分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统1B在任意时刻发生故障的概率分别为和p. 10:
13、/ 【备课大师网】-在线备课,全站免费无需注册,天天更新 49(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求p的值; 50(2)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望E()( 规范解答 解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C那么 14911,P(C),1,?p,解得p,.4分 105051103,(2)由题意P(,0),C, 310,1 000112712,1,P(,1),C, 31010,1 0001124322,1,P(,2),C, 310,101 000172933,1,P(,3),C,.8分 310,1 000所以随机变量的
14、分布列为 0 1 2 3 127243729 P 1 0001 0001 0001 000故随机变量的数学期望: 12724372927E(),0,1,2,3,.12分 1 0001 0001 0001 00010评分细则 (1)标记事件给1分列出式子给1分,(2)四个值每个概率给1分,(3)只写出分布列没有四个概率式子的只给2分( 阅卷老师提醒 (1)对于事件分类较多的可利用对立事件求解,(2)求分布列时一定要根据概率公式写出各个概率而不能只写分布列,(3)E()也可以根据二项分布求解( 1( 盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球,从中随机取出一个记下颜色后放回,当红球取到2次时
15、停止取球(那么取球次数恰为3次的概率是 ( ) 18364481A. B. C. D. 125125125125答案 B 解析 从5个球中随机取出一个球放回连续取3次的所有取法有555,125种有3612两次取红球的所有取法有3A?A,36种(所以概率为. 231252( (2013?陕西)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常)(若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是 ( ) :/ 【备课大师网】-在线备课,全站免费无需注册,天天更新 A(1, B.,1 C(2
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