一元二次方程全章讲义.docx
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1、九年级上册第二章一元二次方程一、知识点梳理:知识点一:一元二次方程的定义知识点三:因式分解法解一元二次方程知识点五:一元二次方程的判别公式知识点七:二元一次方程应用题知识点二:开平方法解一元二次方程知识点四:配方法解一元二次方程知识点六:韦达定理二、各知识点讲解:知识点一:一元二次方程的定义(一)知识点:1、只含有一个未知数x的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a*0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程.2、判断一个方程是否为一元二次方程的依据(1)是一个整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足,缺一不可。3、一元二次方程的
2、二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项.一般地,任何一个关于x的一元二次方程,?经过整理,?都能化成如下ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,aw0)的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号(二)、经典例题及相关练习例题1:判断下列方程是否为一元二次方程?(1)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2-5=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0x练习1 、在下列方程中,一元二次方程的个数是().3x2+7=0ax2
3、+bx+c=0(x-2)(x+5)=x2-13x2-2=0x2、下列方程是一元二次方程的有。(1) x2+15=0(2)x23xy+7=0(3)x+/x1=4_x(4) m?2m+3=0(5)_2x25=0(6)ax2bx=43、下列方程中,是关于x的一元二次方程的有.x2+2x+y=15x2=072x21=3x(mf+1)x+m2=63x3x=0x2+21=0x例2:一元二次方程一般形式、各项系数及常数项(1) 一元二次方程(x+1)2x=3(x22)化成一般形式是.,(2)把方程(13x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项
4、.练习:1、把一元二次方程(x+2)(x3)=4化成一般形式,得().A、x2+x10=0B、x2x6=4C、x2x10=0D、x2x6=02、将方程3x2=2x1化成一元二次方程的一般形式后,二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是()A.3,2,-1B.3,-2,-1C.3,-2,1D.-3,-2,13、一元二次方程3x2J3x2=0的一次项系数是,常数项是.4、方程4x2=3x-2+1的二次项是,一次项是,常数项是5、把方程x(x+1)=4(x1)+2化为一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项例3:利用一元二次方程的定义解题(1)关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次
5、方程,则a的取值范围是.练习1、已知(m+3)x23mx1=0是一元二方程,则m的取值范围是。2、方程(2a4)x22bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程?3、当m为何值时,方程(m+1)x4m-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程?4、关于x的方程(2m2+m)xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗?为什么?(2)若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程,则k的取值范围是练习.、一2一2一一.、一1、关于x的方程mx3xxmx2是一元二次方程,m应满足什么条件?2、a满足什么条件时,关于x的方程a(x2+x)=73x-(x+1)是一元二次方程?3、当m满足什么条件时,方程m(
6、x2+x)=J2x2(x+1)是关于x的一元二次方程?(3)方程(m+2)xm+3mx+1=Qll关于x的一元二次方程,则()A.m=2B.m=2C.m=-2D.mw2a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项,且满足0,方程的根是x=-p土J&;如果q0时,?将a、b、c代入式子x=b、b一4ac就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,力口、减、2a乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。)(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.(5)应用公式法解
7、一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解,4)若结果为非负数,代人求根公式,算出结果。条件:a0,且b24ac0b.b24ac2公式:x,a0,且b4ac02a(二)典型例题:例1.用公式法解下列方程.(1)2x2-x-1=0(2)x2+1.5=-3x(3)x2-/2x+-=0(4)4x2-3x+2=02分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.m22例2.某数学兴趣小组对关于x的万程(m+1)x+(m-2)x-1=0提出了下列问题.(
8、1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.(2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出.你能解决这个问题吗?针对练习:、选择题).1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到(3 .62B.C.x=3 2.3D.x=2.方程J2x2+4J3x+6J2=0的根是().A . x1= 22. ,x2= 33B. x1=6, x2=C. xi=2 22. , x2= 22.D.x1=x 2=-3. (m2-n2) (m2-n2-2) -8=0,贝U m2-n2 的值是().二、填空题A. 4 B. -2 C. 4 或-2 D. -4 或 21 .一元二次方程ax2+b
9、x+c=0(aw0)的求根公式是,条件是2a2 .当x=时,代数式x2-8x+12的值是-4.3 .若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是.三、综合提高题1 .用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0.2 .设xi,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(aw。)的两根,(1)试推导xi+x2=,xix2=;(2)aa?求代数式a(xi3+x23)+b(xi2+x22)+c(xi+x2)的值.例3、选择适当方法解下列方程:223ix6.x3x68.x4xi03x24xi03xi3xixi2x5例2、在实数范围内分解因式:(i)x22岳3;
10、(2)4x28xi.2x24xy5y2说明:对于二次三项式ax2bxc的因式分解,如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式,这种方法首先令ax2bxc=0,求出两根,再写成ax2bxc=a(xxi)(xx2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去知识点五:一元二次方程的判别公式(一)知识点:1、将一元二次方程ax2+bx+c=0(处行配方,钎士亚壬2、根的判别式la(i)当b2-4ac0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当b24ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当b2-4acx2,求下列各式的值:,rr11(1)xiX2=;(2)一=;X1X2(3
11、)(X1X2)2=;(4)(X11)(X21)=例3:若卬沟是方程X22x20070的两个根,试求下列各式的值:(4)X2X1,、11、(D(X11)2(X21)2(2)-(3)(X1)(X2)X11X213X23X133X1X2上X233(6) X1x2练习1、设X1,X2是一元二次方程2x25x10的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的化(D(X12)2(X22)2(2)-2-1-(3)(X1)(X2)(4)X13X23X2X133X1x2(5)%(6)X3x;X22、设x1,*2是一元二次方程4x2-6x-3=0的的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的化22X2X111、(D(X
12、12)(X22)(2)-(3)(X1)(X2)(4)X13X23x2x13(x3X3)3、设x1,*2是一元二次方程2x2-6x+3=0的的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:992xo2x33(1)(xi2)(x22)(2)-(3)(xi)(x2)(4)x13x23x2x133xix2x1/、33(5)(6)xx25x24、已知:a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0的两个根,求:(1+2006a+e2)(1+2006b+b2)=例4:关于x的一兀二次方程(m1)x2xm210有一根为0,则m的值为,另一个根为.1、一元二次方程x2mx30的一个根为1,则m的值为,另一个根为.
13、2、已知关于x的方程x2-(m+1)x+1-m=0的一根为4,求它的另一个根及m的值.3、已知关于x的方程2x2-(m+1)x+1-m=0的一根为-1,求它的另一个根及m的值.例5:在关于x的方程4x2m1xm70中,(1)当两根互为相反数时m的值;(2)若两个根之差为5时m的值(3)当两根互为倒数时m的值(4)若方程一根是另一根的2倍,求m的值练习1、若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m的值为;2、在关于x的方程x2m1xm70中,(1)当两根互为相反数时m的值;(2)若两个根之差为5时m的值(3)当两根互为倒数时m的值(4)若方程一根是另一根
14、的3倍,求m的值3、已知关于x的方程x2(5k1)xk220,是否存在负数k,使方程的两个实数根的倒数和等于4?若存在,求出满足条件的k的值;若不存在,说明理由。4、已知方程x2+px+q=0的二根之比为1:2,方程的判别式的值为1.求p与q之值,解此方程.5、关于x的方程3x2(4m21)xm(m2)0的两实数根之和等于两实数根的倒数和,求m的值.例6:关于x的方程x22(m2)xm240有两个实数根,且这两根平方和比两根积大21.求m的值.练习1、已若关于x的方程x2(m2)xm30两根的平方和是9.求m的值.2、已知方程x23xm0的两根之差的平方是7,求m的值.3、已知关于x的二次方程
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