一阶微分方程初值问题数值解32猪的最佳销售时机.docx
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1、课题第三章微分方程模型与一阶常微分方程初值问题数值解 3.1 一阶微分方程初值问题数值解 3.2猪的最佳销售时机教学内容1. 常微分方程的两个模型2. 一阶常微分方程初值问题数值解法3. 猪的最佳销售时机问题的模型及实验教学目标1. 了解一阶微分方程的初值问题的两个数值解法:欧拉方法、 Runge-kutta(龙格库塔)方法。2. 会利用变化率分析并建立微分方程模型。3. 会用软件Mathematica和MATLA求解微分方程模型。教学重点1. 掌握微分方程数值解法得基本思想.2. 了解欧拉方法、利用改进的欧拉公式解一阶微分方程的初值问题的数值解教学难点Runge-kutta(龙格库塔)方法双
2、语教学 内容、安排Differe ntial equatio n;微分方程nu merical value soluti on;数值解教学手段、措施板书、结合多媒体教学作业、后记P69,2教学过程及教学设计备注是 y=f(x),则有y|xx#00=O用多媒体某些类型的导 弹对目标追击 的数学模型于 此模型类似。牛顿冷却定律: 即尸体温度的 变化律与他同 周围的温度差 成正比。记 y(Xn) = yn X将向前和向后 欧拉公式加以 平均得到。迭代过程分为 两步:由向前欧 拉公式算出 3.1 一阶微分方程初值问题数值解一、两个模型1、饿狼追兔问题现有一只兔子,一只狼,兔子位于狼的正西100米处。假
3、设兔子与狼同时发现对方并一起起跑,兔子往正北60米处的巢穴跑,而狼在追兔子,已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴?解首先建立坐标系,兔子在 O处, 狼在A处。由于狼要盯着兔子追,所以 狼行走的是一条曲线,且在同一时刻, 曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为 曲线上该点处的切线。设狼的行走轨迹又因狼的速度是兔子的两倍,所以在相同时间内狼走的距离为兔子走的距离的两倍。假设在某一时刻,兔子跑到(0,h)处,而狼在(x,y)处,则有h vf(X)二 O x2h 二 1 f 2(x)dx整理得到下述模型2xf (x)=訂 f 2(x)f (100) =0, f (100)
4、 =0这属于可降阶的二阶微分方程,解得狼的行走轨迹313諾宀0宀竽因f (0) = 200 . 60 ,所以狼追不上兔子。32、尸体冷却模型受害者的尸体于晚上7:30被发现,法医于晚上8:20赶到凶案现场,测得尸体温度为32.6 C; 一小时后,当尸体即将被抬走时,测得尸体温度为31.4 C,室温在几个小时内始终保持 21.1 C。此案最大的嫌疑犯张某声称自己是无罪的,并有证人 说:下午张某一直在办公室上班, 5:00时打完电话后就离开了办公室”。从张某 到受害者家(凶案现场)步行需 5分钟,现在的问题是,张某不在凶案现场的证言 能否被采信,使他排除在嫌疑犯之外。解:首先应确定凶案的发生时间,
5、若死亡时间在下午5点5分之前,则张某就不是嫌疑犯,否则不能将张某排除。设T(t)表示t时刻尸体的温度,并记晚上8:20为t=0,贝U T(0)=32.6 C,T(1)=31.4 C。假设受害者死亡时体温是正常的,即T=37C是要确定受害者死亡的时间,也就是求 T(t)=37 C的时刻,进而确定张某是否是嫌疑犯。人体体温受大脑神经中枢调节。人死亡后体温调节的功能消失,尸体的温度受 外界环境温度的影响。假设尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律,即尸体温度的变 化律与他同周围的温度差成正比。即-JT-k(T -21.1)k 是常数,dt分离变量积分得:T(t) =21.1 ae由 T(0)=21.1+a
6、=32.6 得 a=11.5 ; 由 T(1)=21.1+ae-k=31.4 得 e-k = 115/103,即 k=0.11,所以 T(t)=21.1+11.5e-0.11t .当T=37C时,有t=-2.95 小时=-2小时57分,8小时20分2小时57分=5 小时23分。即死亡时间大约在下午 5:23,因此张某不能被排除在嫌疑犯之外。二、一阶微分方程初值问题数值解”y = f (x, y).yd。)= V0(3-1)y1的预测值 yn.1再把它带 入梯形公式的 右端,作为较 正。此方程的解析 解为y = . 1 2x , 按这个解析式 子算出的准确 值y(Xn)同近 似值相比较欧 拉方法
7、的精度 很差。改进欧拉法明 显改善了精度 在区间 kn/Xn内仍 取2个点,仿照 改进的欧拉公 式得 注意:虽然四阶 龙格-库塔方 法的计算量)比 改进的欧拉方 法大一倍,但由 于这里放大了 步长(h=0.2), 表3 3和表3 2所耗费的计 算量几乎相同。 利用多媒体 此处介绍 Logistic 模型 此处用Mathematica 计 算程序演示1、导入课程:微分方程的定解问题中着重考虑的一阶方程的初值问题(3-2)函数f (x, y)满足利普希茨条件:|f (x, y) - f (x, y)|兰Ly - y(3-1 )的解y =y(x)存在并且唯一。右端函数中的在小区间xn -0,1,2(
8、1)(2)(3.3)常微分方程的解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程,实际问题中主要靠数值解法。所谓数值解法,就是寻求解y(x)在一系列离散节点Xi :X2 ::Xn ::: Xn 1 ::-上的近似值y丫2,,yn,yn 1,.相邻两个节点的距离h=xni -Xn称为步长,节点为xn =x0 nh, n =0,1,2,.初值问题(3-1)的数值解法都采用进步式,即只要给 出用已知信息yn, ynyn N,就能给出计算yn 1的递推公式。2、欧拉方法的递推公式:它的基本思想是在小区间l.xn,xn1 上用差商y(xn1 y(xn)代替导数,而方程hn,Xn 1 1的端点上取值,得到方程的近似
9、表达式,称为欧拉公式。(1)向前欧拉公式:yn1 二 yn hf (Xn,yn) 20,1,2 被称作向前欧拉公式或显式欧拉公式。(2 )向后欧拉公式:yn 1 Yn hf(Xn1,yn1)n 0,1,2 I |被称作向后欧拉公式或隐式欧拉公式。(3 )梯形公式:hyn+ =yn +:f (Xn,yn)+ f ( Xn ,n=0,1,2,2被称作梯形公式。(4 )改进的欧拉公式:yn 1 二 yn hf(Xn,yn)yn 1 = ynh f (Xn,yn) f(Xn !n 1)被称作改进的欧拉公式。例1、求解初值问题y / = y - 2x (0 x 1)yy(0)= 12x解(1)向前欧拉公
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