最新届高考数学(文)一轮考点真题专项训练:第三章《导数及其应用》优秀名师资料.doc
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1、2015届高考数学(文)一轮考点真题专项训练:第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算 考点一 导数的概念及几何意义 1.(2014陕西,10,5分)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( ) 3232A.y=x-x-x B.y=x+x-3x 332C.y=x-x D.y=x+x-2x 答案 A x2.(2014广东,11,5分)曲线y=-5e+3在点(0,-2)处的切线方程为 . 答案 5x+y+2=0 3.(2014江西,11,5分)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P
2、的坐标是 . 答案 (e,e) 4.(2014安徽,15,5分)若直线l与曲线C满足下列两个条件: (i)直线l在点P(x,y)处与曲线C相切;(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则00称直线l在点P处“切过”曲线C. (写出所有正确命题的编号). 下列命题正确的是3?直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x 2?直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1) ?直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x ?直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x ?直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln
3、x 答案 ? 5.(2014山东,20,13分)设函数f(x)=aln x+,其中a为常数. 高考学习网,中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识 (1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性. 解析 (1)由题意知a=0时,f(x)=,x?(0,+?), 此时f (x)=. 可得f (1)=,又f(1)=0, 所以曲线y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程为x-2y-1=0. (2)函数f(x)的定义域为(0,+?). f (x)=+=. 当a?0时,f (x)0,函数f(x)在(0,+?)上单调递增, 2当a0时,令g(x)=
4、ax+(2a+2)x+a, 22=(2a+2)-4a=4(2a+1). ?当a=-时,=0, f (x)=?0,函数f(x)在(0,+?)上单调递减. ?当a-时,0,g(x)0, f (x)0,函数f(x)在(0,+?)上单调递减. ?当-a0, 设x,x(x0, 1所以x?(0,x)时,g(x)0,f (x)0,f (x)0,函数f(x)单调递增, 12x?(x,+?)时,g(x)0,f (x)0,函数f(x)单调递减. 2综上可得: 高考学习网,中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识 当a?0时,函数f(x)在(0,+?)上单调递增; 当a?-时,函数f(x)在(0,+?)上单调递
5、减; 当-a0且g(1)0,即-3t-1时,因为g(-1)=t-70,所以g(x)分别在区间-1,0),0,1)和1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-?,0)和(1,+?)上单调,所以g(x)分别在区间(-?,0)和1,+?)上恰有1个零点. 综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1). (3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切; 过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切; 过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切. 3.2导数的应用 考点一 导数与函数的单调性 1.(2014课标?,11,5
6、分)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+?)单调递增,则k的取值范围是( ) A.(-?,-2 B.(-?,-1 C.2,+?) D.1,+?) 答案 D 2.(2014重庆,19,12分)已知函数f(x)=+-ln x-,其中a?R,且曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于直线y=x. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值. 解析 (1)对f(x)求导得f (x)=-,由f(x)在点(1, f(1)处的切线垂直于直线y=x知f (1)=-a=-2,解得a=. (2)由(1)知f(x)=+-ln x-,则f (x)=, 高考学习网,中国最大高考学习网站G
7、| 我们负责传递知识 令f (x)=0,解得x=-1或x=5. 因x=-1不在f(x)的定义域(0,+?)内,故舍去. 当x?(0,5)时, f (x)0,故f(x)在(5,+?)内为增函数.由此知函数f(x)在x=5时取得极小值f(5)=-ln 5. 233.(2014安徽,20,13分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x-x,其中a0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性; (2)当x?0,1时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解析 (1)f(x)的定义域为2(-?,+?), f (x)=1+a-2x-3x. 令f (x)=0,得x=,x=,xx, 1212所以f (x)=-
8、3(x-x)(x-x). 12当xx时, f (x)0;当xx0. 1212故f(x)在(-?,x)和(x,+?)内单调递减,在(x,x)内单调递增. 1212(2)因为a0,所以x0. 12(i)当a?4时,x?1,由(1)知, f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在x=0和x=1处分别取得2最小值和最大值. (ii)当0a4时,x1.由(1)知, f(x)在0,x上单调递增,在x,1上单调递减,因此f(x)在222x=x=处取得最大值. 2又f(0)=1, f(1)=a, 所以当0a1时, f(x)在x=1处取得最小值; 当a=1时, f(x)在x=0和x=1处同时取得最小值; 当1a
9、0,即0xe时,函数f(x)单调递增; 当f (x)e时,函数f(x)单调递减. 故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+?). ee(2)因为e3,所以eln 3eln ,ln eln 3,即ln 3ln ,ln eln 3. xxee33于是根据函数y=ln x,y=e,y=在定义域上单调递增,可得3,ee3. 3e3故这6个数的最大数在与3之中,最小数在3与e之中. 由e3及(1)的结论,得f()f(3)f(e), 高考学习网,中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识 即. 33由,得ln ; e3e3由,得ln 3ln e,所以3e. e综上,6个数中的最大
10、数是3,最小数是3. 325.(2014广东,21,14分)已知函数f(x)=x+x+ax+1(a?R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a0时,试讨论是否存在x?,使得f(x)=f. 002解析 (1)函数的定义域为R, f (x)=x+2x+a. 2?当a0,则x+2x+a0?x-1+或x-1-, 所以f(x)的单调递增区间为(-?,-1-)和(-1+,+?); 令f (x)0,可得-1-x-1+, 所以f(x)的单调递减区间为(-1-,-1+). ?当a?1时,f (x)?0在R上恒成立,所以f(x)在R上是增函数. (2)a0. 由(1)知, f(x)在(-1+,+?)上是
11、增函数. ?-?a,则-?a0, 高考学习网,中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识 不存在x?,使得f(x)=f; 00?-a-, 存在x?,使得f(x)=f; 00?-1+=?a=-, 不存在x?,使得f(x)=f; 00?-3a-, ?不存在x?,使得f(x)=f; 00?-a0),x?R. (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)若对于任意的x?(2,+?),都存在x?(1,+?),使得f(x)?f(x)=1.求a的取值范围. 12122解析 (1)由已知,有f (x)=2x-2ax(a0). . 令f (x)=0,解得x=0或x=当x变化时, f (x), f(x)的变化情况
12、如下表: x (-?,0) 0 f (x) - 0 + 0 - f(x) ? 0 ? ? 所以, f(x)的单调递增区间是;单调递减区间是(-?,0),. 当x=0时, f(x)有极小值,且极小值f(0)=0;当x=时,f(x)有极大值,且极大值f=. (2)由f(0)=f=0及(1)知,当x?时, f(x)0;当x?时, f(x)2,即0a时,由f=0可知,0?A,而0?B,所以A不是B的子集. ?当1?2,即?a?时,有f(2)?0,且此时f(x)在(2,+?)上单调递减,故A=(-?, f(2),因而A?(-?,0);由f(1)?0,有f(x)在(1,+?)上的取值范围包含(-?,0),
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