最新新课标创新人教A版数学选修2-323离散型随机变量的均值与方差优秀名师资料.doc
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1、2016新课标创新人教A版数学选修2-323离散型随机变量的均值与方差第1课时 离散型随机变量的均值 核心必知 1(预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材P,P的内容,回答下列问题( 6063(1)某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的3种糖果按3?2?1的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理, 111提示:由于平均在每1 kg的混合糖果中3种糖果的质量分别是 kg kg和 kg236111所以混合糖果的合理价格应该是18,24,36,23(元/kg)( 236111它是三种糖果价格的一种加权平均这里的权数分别是和. 236(2)什么是权数,什么是加权平均, 提示
2、:权是秤锤权数是起权衡轻重作用的数值(加权平均是指在计算若干个数量的平均数时考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同分别给予不同的权数( (3)如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,你能解释权数的实际含义吗, 提示:根据古典概型计算概率的公式可知在混合糖果中任取一颗糖果这颗糖果为111第一、二、三种糖果的概率分别为即取出的这颗糖果的价格为18元/kg24元/kg236111或36元/kg的概率分别为和.用X表示这颗糖果的价格则它是一个离散型随机变量236其分布列为 X 18 24 36 版权所有:中国好课堂 111P 236因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率( 2(归纳总结,核心必记 (
3、1)离散型随机变量的均值的概念及性质 ?一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x x x x 12inP p p p p 12in则称E(X),xp,xp,xp,xp为随机变量X的均值或数学期望(它反映了1122iinn离散型随机变量取值的平均水平( ?若Y,aX,b,其中a,b为常数,则E(Y),E(aX,b),aE(X),b( (2)两点分布与二项分布的均值 ?若随机变量X服从两点分布,则E(X),p( 若X,B(n,p),则E(X),np( ?问题思考 (1)随机变量的均值和样本的平均值是一个常数还是随机变量, 提示:随机变量的均值是一个常数它不依赖于样本的抽取,样本的平均值是一个随
4、机变量它是随着样本的不同而变化的( (2)随着样本容量的增加,样本的平均值与总体平均值有什么关系, 提示:随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体平均值( 1(3)对于n个数x,x,x,称x,(x,x,x)为这n个数的平均数,如何从随12n12nn机变量的角度看这个问题, 提示:设X为从这n个数中任取的一个数则X所有可能的取值便为xxx12n1P(X,x),(i,12n)即X的概率分布列为 inX x x x x 123n1111P nnnn11111E(X),x?,x?,x?,x?,(x,x,x)( 123n12nnnnnn(4)若随机变量X,B(40,p),且E(X),16,则p为何
5、值, 版权所有:中国好课堂 16提示:?E(X),16?40p,16即p,0.4. 40课前反思 通过以上预习,必须掌握的几个知识点( (1)离散型随机变量的均值: ; (2)离散型随机变量均值的性质: ; (3)两点分布的均值: ; (4)二项分布的均值: ( 讲一讲 1(袋中有4只红球,3只黑球,今从袋中随机取出4只球,设取到一只红球记2分,取到一只黑球记1分,试求得分X的均值( 尝试解答 取出4只球颜色分布情况是:4红得8分3红1黑得7分2红2黑得13CC4436分1红3黑得5分相应的概率为P(X,5),. 4C357版权所有:中国好课堂 22CC1843P(X,6),. 4C35731
6、CC1243P(X,7),. 4C35740CC143P(X,8),. 4C357随机变量X的分布列为 X 5 6 7 8 418121P 3535353541812144所以E(X),5,6,7,8,. 353535357求离散型随机变量的均值的一般步骤: (1)理解随机变量的意义写出随机变量的所有可能的取值, (2)求随机变量取每一个值的概率, (3)列出随机变量的分布列, (4)根据均值的计算公式求出E(X)( 练一练 1(在10件产品中,有3件一等品、4件二等品、3件三等品(从这10件产品中任取3件,求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和均值( 解:由题意知X的所有可能取值为0123
7、. 03CC35737P(X,0), 3C120241012CC632137P(X,1), 3C120401021CC21737P(X,2), 3C120401030CC137P(X,3),. 3C12010?X的分布列为 X 0 1 2 3 72171P 244040120版权所有:中国好课堂 721719?E(X),0,1,2,3,. 24404012010思考 若Y,aX,b,则E(X)与E(Y)之间有什么关系, 提示:E(Y),E(aX,b),aE(X),b. 讲一讲 2(已知随机变量X的分布列如下: X ,2 ,1 0 1 2 1111P m 43520(1)求m的值; (2)求E(
8、X); (3)若Y,2X,3,求E(Y)( 11111尝试解答 (1)由随机变量分布列的性质得,m,,1解得m,. 4352061111117(2)E(X),(,2),(,1),0,1,2,. 4356203017,(3)法一:由公式E(aX,b),aE(X),b得E(Y),E(2X,3),2E(X),3,2,3,3062,. 15法二:由于Y,2X,3 所以Y的分布列如下: Y ,7 ,5 ,3 ,1 1 11111 P 4356201111162所以E(Y),(,7),(,5),(,3),(,1),1,. 43562015若给出的随机变量Y与X的关系为Y,aX,b(其中ab为常数)一般思路
9、是先求出版权所有:中国好课堂 E(X)再利用公式E(aX,b),aE(X),b求E(Y)( 练一练 2(已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 111 P 236且Y,aX,3,若E(Y),2,则a的值为_( 1115解析:E(X),1,2,3,. 23635?Y,aX,3?E(Y),aE(X),3,a,3,2. 3解得a,3. 答案:,3 讲一讲 (甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队三人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得3222一分,答错得零分(假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中三人答对的概率分别为,3331,且各人回答得正确与否相互之间没有影响( 2(1)若用表示甲队的总得分,求随机变
10、量的分布列和均值; (2)用A表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”,用B表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”,求P(AB)( 2,尝试解答 (1)由题意知的所有可能取值为0123且,B3则有 ,33210,P(,0),C1, 3,32722221,P(,1),C1, 3,33922242,P(,2),C1, 3,3393283,P(,3),C, 3,327所以的分布列为 版权所有:中国好课堂 0 1 2 3 1248P 27992722,由于随机变量,B3则有E(),3,2. ,33(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件AB,C?DCD互斥( ,P(C)
11、,C1,(,), 34,3333233233233222143,P(D),C1,1,1, 35,333231043434P(AB),P(C),P(D),,,. 455333243此类题的解法一般分两步:一是先判断随机变量服从两点分布还是二项分布,二是代入两点分布或二项分布的均值公式计算均值( 练一练 3(从饭店到火车站途中有6个交通灯,一出租车司机行驶在这条路线上,假设他在各1交通灯遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是. 3(1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了2个交通灯的概率; (2)求这位司机在途中遇到红灯数的均值( 解:(1)因为这位司机在第一个、第二个交通灯未遇到红灯在第三个交通
12、灯遇到红灯 1114,所以P,1,1,. ,333271,(2)因为,B6 ,31所以E(),6,2. 3讲一讲 4(随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三版权所有:中国好课堂 等品20件、次品4件(已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X. (1)求X的分布列; (2)求1件产品的平均利润(即X的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少, 思路点拨 (1
13、)利润X可以取621,2,(2)利用均值的定义求值,(3)根据平均利润不小于4.73万元建立不等式求解( 尝试解答 (1)X的所有可能取值有621,2 12650P(X,6),0.63P(X,2),0.25 200200204P(X,1),0.1P(X,2),0.02. 200200故X的分布列为 X 6 2 1 ,2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X),60.63,20.25,10.1,(,2)0.02,4.34(万元)( (3)设技术革新后的三等品率为x则此时1件产品的平均利润为E(X),60.7,2(1,0.7,0.01,x),1x,(,2)0.01,4.76,x(
14、0?x?0.29) 依题意E(X)?4.73 即4.76,x?4.73 解得x?0.03所以三等品率最多为3%. 解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小并列出分布列最后利用公式求出相应的均值( 练一练 4(在一次射击比赛中,战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4,0.1,0.5;战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6,0.3,那么两名战士获胜希望较大的是谁, 解:设这次射击比赛战士甲得X分战士乙得X分则分布列分别如下: 12版权所有:中国好课堂 X 1 2 3 1P 0.4 0.1 0.5 X 1 2 3 2P
15、0.1 0.6 0.3 根据均值公式得 E(X),10.4,20.1,30.5,2.1, 1E(X),10.1,20.6,30.3,2.2, 2因为E(X)E(X) 21故这次射击比赛战士乙得分的均值较大 所以战士乙获胜的希望较大( 课堂归纳?感悟提升 1(本节课的重点是离散型随机变量的均值的求法难点是均值的实际应用( 2(要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论 (1)E(C),C(C为常数), (2)E(aX,bX),aE(X),bE(X), 1212(3)如果XX相互独立则E(X?X),E(X)?E(X)( 1212123(要掌握与离散型随机变量有关的几个问题: (1)离散型随机变量的均值
16、的求法见讲1, 见讲2, (2)离散型随机变量均值的性质(3)两点分布及二项分布的均值见讲3, (4)均值的实际应用见讲4. 版权所有:中国好课堂 课下能力提升(十四) 学业水平达标练 题组1 离散型随机变量的均值 1(篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,没命中得0分,已知某篮球运动员命中的概率为0.8,则罚球一次得分的均值是( ) A(0.2 B(0.8 C(1 D(0 解析:选B 因为P(,1),0.8P(,0),0.2所以E(),10.8,00.2,0.8.故选B. 11,2(已知X,Bn,Y,Bn,且E(X),15,则E(Y),_. ,231n1,解析:因为X,Bn所以E(X),.又
17、E(X),15则n,30.所以Y,B30. ,2231故E(Y),30,10. 3答案:10 3(某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训,他们参加培训的次数统计如下表所示: 培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20 (1)从这40名学生中任选3名,求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率; (2)从这40名学生中任选2名,用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及均值E(X)( 111CCC51520解:(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P,1,3C40419. 494版权所有:中国好课堂 (2)由题意知X,0
18、12 222C,C,C6151520P(X,0), 2C156401111CC,CC255151520P(X,1), 2C524011CC5520P(X,2), 2C3940则随机变量X的分布列为 X 0 1 2 61255P 156523961255115所以X的均值E(X),0,1,2,. 1565239156题组2 离散型随机变量均值的性质 4(随机变量X的分布列如下表,则E(5X,4)等于( ) X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B(11 C(2.2 D(2.3 解析:选A 由已知得E(X),00.3,20.2,40.5,2.4故E(5X,4),5E(X),4,52
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