数学分析第二章数列极限.doc
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1、第二章 数列极限(计划课时:1 2 时)P23411 数列极限的定义 ( 4时 )一、数列:1.数列定义 整标函数.数列给出方法: 通项, 递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列: 常驻列,有界列,单调列和往后单调列.二、数列极限: 以 为例.定义 (的 “”定义)三、用定义验证数列极限: 思路与方法.例1 证明格式:(不妨设 )(不妨设) 要使化简附加条件逐次放大不等式, 只须. 于是,,当时,有. 根据数列极限的“”定义知 = .例2 例3 例4 证 9 / 11 注意到对任何正整数时有 就有 于是,对 取 例5 证法一 令 有 用Bernoulli不等式,有 或 证法二 (用均值不等式)
2、 例6 证 时, Ex 1P34 1; 2.四、关于数列极限定义的几点注记:1.的正值性, 任意性与确定性, 以小为贵.2. 的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3. 数列极限的等价定义: 对 对任正整数4. 的几何意义.5. 数列极限的几何定义:五、收敛的否定叙述:1. 定义 ( 的“”定义 ).2. 定义 ( 数列发散的“”定义 ).3. 的“”几何定义4. 数列发散的“”几何定义Th1 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性:例7 验证 例8 证明与都是发散数列.例9 设作数列如下:证明六、无穷小数列: 定义.Th2 ( 数列极限与无穷小数列
3、的关系 ). Ex 1P35 3,4,5,6,7,8.2 收敛数列的性质 ( 4时 )一、极限唯一性:( 证 )Th 1 (极限唯一性)二、收敛数列有界性 收敛的必要条件:( 证 )Th2 (收敛数列有界性)三、收敛数列保号性:Th 3 设 若 则( 证 )推论1 设 若,(注意“ = ” ;并注意 和 的情况 ).推论2 设 或. 则对 (或 (或推论3 若 则对 例1 设.证明:若,则.注: 用分子有理化的方法可证,但烦琐.可引入不等式:当时,有 . 一般化有, ,这一结论的证明可作为习题予以证明.四、迫敛性(双逼原理):Th4 (双逼原理). (证)例2 求下列极限: 例3 ( 例4 (
4、1)求证:(2)求证:五、绝对值收敛性:Th 5 ( 注意反之不确 ). ( 证 )六、四则运算性质:Th 6 (四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外). ( 证 )系 设数列和收敛, 则 利用数列极限性质求极限:两个基本极限:,()例5 (1)(2).(3).其中例6 例7 七、子列收敛性: 子列概念.Th 7 (数列收敛充要条件) 收敛 的任何子列收敛于同一极限.Th 8 (数列收敛充要条件) 收敛 子列和收敛于同一极限. Th 9 (数列收敛充要条件)收敛 子列、和都收敛. (简证)利用子列性质证明数列发散:例8 证明数列 发散.Ex 1P3334 163 数列极限存在的条件(
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