最新西南交通大学高等数学练习题答案优秀名师资料.doc
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1、西南交通大学高等数学练习题答案精品文档 西南交通大学高等数学练习题答案 ? n xz ?ln zy 所确定,则dz ?0,1,1? ?dx?dy ( ? 2(设幂级数?anx的收敛区间为?3,3?,则幂级数?an?x?1?的收 n?0 n?0 n 敛区间为 ?2,4? (设函数 ?x, f? ?0, y ?x?00?x? 的付氏级数的和函数为S,则S? 1 / 35 精品文档 ? 2 ( 4(设z?f,其中f具有连续的二阶偏导数,则 x ? ?z?x?y 2 = 1x ?f12 1x 2 f2? yx 3 ? ( f22 5(设幂级数?an?x?1?在x?0处收敛,而在x?2处发散,则幂级数?
2、anxn的 n?0 n?0 n 2 / 35 精品文档 ? 收敛域为 ?1,1)(函数 ?n?1?n 关于x的幂级数展开式为 ? ( f?1?x,x?2n?1 x?x?2n?0?2? 3 ? y 7(设函数z?x,则dz? dx?2ln2dy 8(曲线x?t,y?t2,z?t3的切线中,与平面x?2y?3z?6垂直的切线 方程是 x?11 ?y?1?2 ?z?13 z ( 9(设z?z是由方程e?zsin?lna a?0为常数所确定的二元函数,则 dz? yzcose?sin 2 z 3 / 35 精品文档 dx? xzcose?sin z dy( 10.旋转抛物面z?x?y的切平面:x?4y
3、?8z?1?0, 2 平行与已知平面x?y?2z?1. 1 11(微分方程2y?y?y?0的通解为 Y?C1e 2 x ?C2e ?x , 1 x 2y?y?y?e的通解为 y?C1e2?C2e x ?x ? 12 e( 4 / 35 精品文档 x 12.曲线?:x? ? t ecosudu,y?2sint?cost,z?1?e u3t 在点?0,1,2?处的切线方程为 3(函数f? 1x?4 的麦克劳林级数的第5项为? x4 45 ,收敛域为. 14.(已知函数f?2x?3y?x?y,有一个极值点, 则a?2, b?3, 此时函数f 的极大值为 . ab 15.试写出求解下列条件极值问题的拉
4、格朗日函数:分解已知正数a为三个正数 x,y,z之和,使x,y,z的倒数之和最小L?x,y,z? 1x ? 1y 5 / 35 精品文档 ? 1z ?x?y?z?a? 16函数f?xln?1?x?的麦克劳林级数的收敛域为x?1,1?,f ? 二、单项选择题:请将正确结果的字母写在括号内。 1(二元函数z?f在点处两个偏导数fx?, ?存在是f在该点连续的 fy 充分条件 必要条件 充分必要条件 既非充分也非必要条件 2(函数z?f在点处两个偏导数fx?,fy?存在是 f在该点可微分的 充分条件必要条件 充分必要条件 既非充分也非必要条件 3(设z?z是由方程F?0所确定的隐函数,其中F是可微函
5、数,a,b为常数,则必有 a?z ?x ?b ?z?y 6 / 35 精品文档 2 ?z?z?z?z?z a?b?1bb?a?1?1 ?x ?y ?x?y ?x ?a ?z?y ?1 4(微分方程 dydx 2 ?2 dydx ?y?e特解y的形式为 x * Aex Axex Ax2ex x2ex(若级数?an收敛,则下列结论正确的是 n?1? ? 2 7 / 35 精品文档 an ? n?1? 收敛 ?收敛 n?1 ? n ?an收敛 ?an收敛 n?1 n?1 6(下列级数中条件收敛的是 ? ? n?1 n nn?1 ? ? n?1 n nn?1 ? 8 / 35 精品文档 ? n?1 n
6、 2 n? ?n n?1 n?1n 2 7(曲面2x2?y2?3z2?6在点处的切平面方程为 x?2y?3z?6x?4y?3z? x?y?3z? x?y?3z?6 8( 原点是函数f?xy?y的 极小值点极大值点 驻点却不是极值点 非驻点 9(下列方程中是一阶线性微分方程是 dx?dy?0dy?dx yy?2y?5x xy?2y?5x ? 2 10(设p 为常数,则级数? n?1 n 9 / 35 精品文档 绝对收敛 条件收敛 发散 收敛性与p有关 xx ?xyy 11.设?2x?e?dx?1?edy?y? 是函数u的全微分,则其中一个u为 x x y?x2?yey x2?ey?1 x x?y
7、e ? 2y x ?1 x2 ?e y ? xy ?1?n1? 12.级数?的敛散情况是 ?n?nn?1? 条件收敛 绝对收敛 发散敛散性不能确定 三、计算下列各题: 10 / 35 精品文档 1.设z?f?xy,siny?g,其中函数f,g具有二阶连续偏导数, 2 x 求 ?z?x , ?z?x ?z?x?y 2 ( 解: 2 2x ?f1?y?g?ye,?z?2y?f1?y2?g?ex?g?ye2x. ?x?y 2. 设u?f,函数f可导,且方程z?ez?2xy?3确定了函数z?z,求 ?u?x ?z?x ?u?x ( 11 / 35 精品文档 因 ?z?x ?z?x ?f?,方程z?ez
8、?2xy?3两端对x求偏导,得 ?z?x 2ye?1 z ?e z ?2y?0, 解得 ? n ?,故 ?u?x ?f? ?z?x ?f? 2ye?1 z 。 3. 求级数? n?0 12 / 35 精品文档 2n?1 的和。 ? 考查幂级数? n?0 n 2n?1 x 2n?1 ,因 lim un?1un n? ?lim 2n?32n?1 n? ?x 2 ?x, 2 所以,当x 13 / 35 精品文档 2 ?1,即x?时,幂级数绝对收敛。在x?1处,原幂级数成 ? 为收敛。故,幂级数的收敛域为?1,1,在?1,1内,设S? ? ?2n?1x n?0 n 2n?1 , 上式两边对x求导,S?
9、 S?S? ? n?0x0 x11?x 2 n2n ? 11?x 14 / 35 精品文档 2 ,该式两边从0到x积分,得 ? dx?arctanx 又S?0,因此S?arctanx,x?1,1 ? 故? n?0 n 2n?1 ?arctan1? ? 4 4(求原点到曲面z2?xy?x?y?4的最短距离。 设点M?x,y,z?为曲面z2?xy?x?y?4上任一点,则该点与原点距离的平方和为:f?x,y,z?d2?x2?y2?z2,只要求距离的平方和最小即可,约束条件:xy?x?y?4?z2?0,设 F?x,y,z?x2?y2?z2?xy?x?y?4?z2? ?Fx?Fy 由 ? ?Fz?xy
10、15 / 35 精品文档 ?2x?y?1?0?2y?x?1?0?2z?2z?0?x?y?4?z?0 2 ,解得x?1,y?1,z?1 故,原点到曲面z2?xy?x?y? 4( ? 5(求幂级数? n?1 n n x 2n 的收敛域及和函数。 n?1n 因 lim n? 2 un?1un ?lim n? ?x 2 16 / 35 精品文档 ?x 2 所以,当x ? ?1,即x?时,幂级数绝对收敛。在x?1处,原幂级数成 为 ? n?1 n ? n ,收敛。故,幂级数的收敛域为?1,1在?1,1内,设 n ? S? ? n?1 n x 17 / 35 精品文档 2n n2n?1 ?, 上式两边对x
11、求导,S?2?x n?1 x ?2x1?x 2 上式两边从0到x积分,得S?S?又S?0,因此S?ln, ? ?01?x2 ?2x dx?ln 2 x?1,1 6(求幂级数?nn的收敛域及和函数。 n?1 因 ?lim n? an?1an ?lim n? n?1n 18 / 35 精品文档 ?1所以,半径R? 1 ? ?1,幂级数在 西南交通大学2009-2010高等数学II期中考试解答 一、选择题 ? 1、函数f? ? xyx2?y20 x2?y2?0x2?y2?0 在点。 (连续,偏导函数都存在;(不连续,偏导函数都存在; (不连续,偏导函数都不存在; (连续,偏导函数都不存在。、二重积分
12、?xydxdy的值为。 D ( 1; ( 1; 12 ( 19 / 35 精品文档 1 ; ( 1 ?z?z?b? ?yA。、设f为可微函数,x?az?f,则?x a (1; (a; (b; (a?b。 4、设D是以原点为圆心,R为半径的圆围成的闭区域,则 R4R4R4 4 (4; (3; (2; (R。 ? xy d?C D 。 ?fD:0?y?1?x , 0?x?15、设在上连续,则二重积分D 极坐标系下的二次积分的形式为 D。 (? 2 fd? 表示成 20 / 35 精品文档 ? d?frdr 0 1?cos? 1 ; (?;(? 2 ? d?d? cos?sin? frdrfrdr
13、; 。 ? 2 d?C 0 0( frdr 2 ? 1cos?sin? 0 二、填空题 y)1?lnx dx?dy2 z?dz?xx1、设,则,在点P处 21 / 35 精品文档 y x yx y 的梯度 grad zP? , )。 2、设f?x? x? ,则fx? y 3、D由曲线?1所围成的闭区域,则 22 ?dxdy D =2?。 98 4、函数u?xyz在点处从点到点的方向导数是13。 ?01 ?l?grad u?l?, 13, ?u?098?l?grad u? ?l13 ?y?1?2x ?x?1y?1z?2 152在点处的切线方程为5、曲线?,法平?z?x1?2?5?22? 22 /
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