最新高考数学命题趋势及解题攻略----数列与探索性新题型的解题技巧优秀名师资料.doc
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1、高考数学命题趋势及解题攻略-数列与探索性新题型的解题技巧2007命题有如下趋势: 1.等差(比)数列的基本知识是必考内容,这类问题既有选择题、填空题,也有解答题;难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a与S之间的互化关系也是高考的一个热点. nn3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到,解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意: 1.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差(比)数列,是常见题型,解决此类问题需要抓住
2、基本量a、1d(或q),掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节,常通过“设而不求,整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面,如等比数列求和要注意q=1和q?1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的,数列也不例外.如a与S的转化;将一些数列转nn化成等差(比)数列来解决等.复习时,要及时总结归纳. 5.深刻理解等差(比)数列的定义,能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法,养成良好的学习习惯,定能达到事半功倍的效果. 7数列应用题将是命题
3、的热点,这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 1理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项. 2理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有,如有侵权,来信删除! 答简单的问题. 3理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能运用公式解决简单的问题. 4数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题
4、多为中等以上难度的试题,突出考查考生的思维能力,解决问题的能力,试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题转化为数学问题来解决. 1 理解数列的概念,正确应用数列的定义,能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 典型例
5、题 例1(2006广东卷)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第1堆只有1层,就一个球;第2,3,4,堆最底层(第一层)分别按图4所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第n堆第n层就放一个乒乓球,以f (n)表示第n堆的乒乓球总数,则fn()_,;(答案用nf3_,, 表示). 思路启迪:从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, 推测出第n层的球数。 解答过程:显然. f310,,nn1,第n堆最低层(第一层)的乒乓球数,第n堆的乒乓球数总数相aaaa,,,n12n2nn1,11,222当于n堆
6、乒乓球的低层数之和,即 fnaaa(12n).,,,,,,12n222本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有,如有侵权,来信删除! nn1n2,所以: f(n),6例22007将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0-1三角数表从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,第n次全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 思路启迪:计算图形中相应1的数量的特征,然后寻找它们之间的规律。 解:
7、第1次全行的数都为1的是第2=1行,第2次全行的数都为1的是第=3行,第21,21,3n3次全行的数都为1的是第n=7行,?,第次全行的数都为1的是第行;第6121,21,5行中1的个数是 21,=32 n应填,32 21,2 在解答给出的递推关系式的数列问题时,要对其关系式进行适当的变形 ,转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且;我们可把各个差列出来进行求和,可aan,a1,nn1,1得到数列a的通项. ,nnn1, aaaaaaaa,,,,,,,,,,,nn121.,nnn1n1n2211,2a再看“逐商法”即n1,且,可把各个商列出来求积。 a1,n1,,1anaaann12, aa
8、nn1n221n!,,n1aaan1n21,另外可以变形转化为等差数列与等比数列,利用等差数列与等比数列的性质解决问题。 例3(2007年卷) 数列1中,(是常数,),且成公比不为的等aaa,cn,123,aa,2aacn,,,123n1nn,1比数列 本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有,如有侵权,来信删除! (I)求的值;(II)求的通项公式 ca,n思路启迪:(1)由成公比不为1的等比数列列方程求; aaa,c123(2)可根据递推公式写出数列的前几项,然后分析每一项与该项的序号之间的关系,归纳概括出an与n之间的一般规律,从而作出猜想,写出满足前
9、4项的该数列的一个通项公式. 解:(I), a,2ac,,2ac,,231232因为成等比数列,所以,解得或 aaa,c,0c,2(2)2(23),,,cc123当c,2时,不符合题意舍去,故 c,0aaa,123(II)当时,由于 n?2, , , aac,aac,2aanc,(1)2132nn,1nn(1),所以 aancc,,,12(1)n122又,故 c,2a,2annnnn,,,,,2(1)2(23),n1当n,1时,上式也成立, 2所以 annn,,,2(12),n小结:从特殊的事例,通过分析、归纳、抽象总结出一般规律,再进行科学地证明,这是创新意识的具体体现,这种探索问题的方法,
10、在解数列的有关问题中经常用到,应引起足够的重视. 例4(2006广东卷)已知数列x11满足,若, xn,3,4,im2lx,x,xxx,,n2nnnn,12n,22则 ( B ) 3() () () () 2思路启迪:对递推关系变形,运用叠加法求得,特别注意的是对两边同时运用. 解答过程:, . 2xxx,,?,xxxxnn1n1,nn1n2n,xxxx,3213,xxxx,4324,相叠加. xxxxxx,,,n212nn1,n1n2n3n1xxxx,nn1n2nxxxx,x1, . ?,,2xx2xx,nn11,22本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所
11、有,如有侵权,来信删除! , , ,. ?,2x6x3,limx2,lim2xxlim2x,,,11nnn11,nnn,1解答过程2:由得: xxx,,nnn,122111, x+xxxxxx,,,,,nn1n1n2211,2221, ,因为. limx2,limxxx,,n,nn11,n,n,2,所以:. x3,11解答过程3:由得: xxx,,nnn,1222n2n1,1111,, xxxxxx,xxxnn1n1n2n2n3211,,2222,2n1,3111,从而 ;. xxx,321xxx,xxx,431nn11,222,23n1,,111,叠加得:. ,,,,,xxxn21,222,
12、,n2,n2,,1111,, . ,,,xxx1n21limxlimxx1,,,n21,nn,6262,,,,,x11 , 从而. x3,2x,,1126小结:数列递推关系是近几年高高数学的热点,主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推akadn2,k1,,,,可转化为 ,nn-1dd,akadan2,,,;对连续三项递推的关系 ,aka,n1nn-1,,nn1,1k1k,2如果方程有两个根,则上递推关系式可化为 ,、xkxd=0,或. aaaa,aaaa,,n1nnn1,,n1nnn1,,3 n aSnnS n=1,1的关系:,数列前n项和和通项是数列中两个重要的量,aSS
13、aa,nnnnn,SS n2,nn1,在运用它们的关系式时,一定要注意条件,求通项时一定要验证是否适an2,aSS,1nnn1,合。解决含的式子问题时,通常转化为只含或者转化为只的式子. aSaSnnnn52006 在等比数列n中,前项和为,若数列也是等比数列,aa,1Sa,2,nnn1则等于( ) Sn本站部分信息资源来源于网络,仅供学习|研究|探讨|收藏之用,版权归原作者所有,如有侵权,来信删除! n,1n(A) (B) (C) (D) 22,3n2n31,命题目的:本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力。 n,1因数列为等比,则,因数列也是等比数列,则 aa,1aq,2,
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