2019版高考数学一轮总复习第三章导数及应用题组训练18定积分与微积分基本定理理2018051541.doc
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1、题组训练18 定积分与微积分基本定理1若a2,则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有()A0个零点B1个零点C2个零点 D3个零点答案B解析f(x)x22ax,且a2,当x(0,2)时,f(x)0,f(2)4a0,f(x)在(0,2)上恰好有1个零点故选B.2函数yx2ex的图像大致为()答案A解析因为y2xexx2exx(x2)ex,所以当x0时,y0,函数yx2ex为增函数;当2x0时,y0,所以排除D,故选A.3函数f(x)ex(sinxcosx)在区间0,上的值域为()A,eB(,e)C1,e D(1,e)答案A解析f(x)ex(sinxcosx)ex(cosxsinx)e
2、xcosx,当0x时,f(x)0.f(x)是0,上的增函数f(x)的最大值为f()e,f(x)的最小值为f(0).4(2018山东陵县一中月考)已知函数f(x)x2ex,当x1,1时,不等式f(x)m恒成立,则实数m的取值范围为()A,)B(,)Ce,) D(e,)答案D解析由f(x)ex(2xx2)x(x2)ex,得当1x0时,f(x)0,函数f(x)单调递减,当0x0,函数f(x)单调递增,且f(1)f(1),故f(x)maxf(1)e,则me.故选D.5(2014课标全国)已知函数f(x)ax33x21,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()A(2,) B(1,)C
3、(,2) D(,1)答案C解析当a0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意当a0时,f(x)3ax26x,令f(x)0,解得x10,x2.当a0时,0,所以函数f(x)ax33x21在(,0)与(,)上为增函数,在(0,)上为减函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x00,则f(0)0,即10,不成立当a0时,0,则f()0,即a310,解得a2或a2,又因为a0,故a的取值范围为(,2)选C.6f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时,f(x)xf(x)0的解集为()A(4,0)(4,) B(4,0)(0,4)C(,4)(4,) D(,4)(0,4)答案D解析设g(x)xf(x),则当x0时,
4、g(x)xf(x)xf(x)xf(x)xf(x)f(x)0化为g(x)0.设x0,不等式为g(x)g(4),即0x4;设xg(4),即x0在x(e,e2上恒成立,故h(x)max,所以a.故选B.8(2018湖南衡阳期末)设函数f(x)ex(x3x26x2)2aexx,若不等式f(x)0在2,)上有解,则实数a的最小值为()A BC D1答案C解析由f(x)ex(x3x26x2)2aexx0,得ax3x23x1.令g(x)x3x23x1,则g(x)x2x3(x1)(x3)当x2,1)时,g(x)0,故g(x)在2,1)上是减函数,在(1,)上是增函数故g(x)ming(1)31,则实数a的最小
5、值为.故选C.9已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大时,其高的值为_答案2解析设正六棱柱的底面边长为a,高为h,则可得a29,即a29,正六棱柱的体积V(6a2)h(9)h(9h)令y9h,则y9,令y0,得h2.易知当h2时,正六棱柱的体积最大10已知函数f(x)ex2xa有零点,则a的取值范围是_答案(,2ln22解析由原函数有零点,可将问题转化为方程ex2xa0有解问题,即方程a2xex有解令函数g(x)2xex,则g(x)2ex,令g(x)0,得xln2,所以g(x)在(,ln2)上是增函数,在(ln2,)上是减函数,所以g(x)的最大值为g(ln2)
6、2ln22.因此,a的取值范围就是函数g(x)的值域,所以,a(,2ln2211设l为曲线C:y在点(1,0)处的切线(1)求l的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方答案(1)yx1(2)略解析(1)设f(x),则f(x).所以f(1)1.所以l的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x),则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于g(x)0(x0,x1)g(x)满足g(1)0,且g(x)1f(x).当0x1时,x210,lnx0,所以g(x)1时,x210,lnx0,所以g(x)0,故g(x)单调递增所以g(x)g(1)0(x0,x1)所以除切点之外,曲线C在直线l的下
7、方12已知函数f(x)x28lnx,g(x)x214x.(1)求函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若函数f(x)与g(x)在区间(a,a1)上均为增函数,求a的取值范围;(3)若方程f(x)g(x)m有唯一解,试求实数m的值答案(1)y6x7(2)2,6(3)m16ln224解析(1)因为f(x)2x,所以切线的斜率kf(1)6.又f(1)1,故所求的切线方程为y16(x1)即y6x7.(2)因为f(x),又x0,所以当x2时,f(x)0;当0x2时,f(x)0时原方程有唯一解,所以函数yh(x)与ym的图像在y轴右侧有唯一的交点又h(x)4x14,且x0,所以当x4时,h(x
8、)0;当0x4时,h(x)0时原方程有唯一解的充要条件是mh(4)16ln224.13(2018湖北四校联考)已知函数f(x)lnxa(x1),g(x)ex.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数h(x)f(x1)g(x),当x0时,h(x)1恒成立,求实数a的取值范围答案(1)当a0时,f(x)的单调递增区间为(0,),无单调递减区间;当a0时,f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,)(2)(,2解析(1)函数f(x)的定义域为(0,),f(x)a(x0)若a0,对任意的x0,均有f(x)0,所以f(x)的单调递增区间为(0,),无单调递减区间;若a0,当x(0,)时,f
9、(x)0,当x(,)时,f(x)0时,f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,)(2)因为h(x)f(x1)g(x)ln(x1)axex,所以h(x)exa.令(x)h(x),因为x(0,),(x)ex0,所以h(x)在(0,)上单调递增,h(x)h(0)2a,当a2时,h(x)0,所以h(x)在(0,)上单调递增,h(x)h(0)1恒成立,符合题意;当a2时,h(0)2ah(0),所以存在x0(0,),使得h(x0)0,所以h(x)在(x0,)上单调递增,在(0,x0)上单调递减,又h(x0)1不恒成立,不符合题意综上,实数a的取值范围是(,2(第二次作业)1(2018皖南十校联
10、考)设函数f(x)lnxax2xa1(aR)(1)当a时,求函数f(x)的单调区间;(2)证明:当a0时,不等式f(x)x1在1,)上恒成立答案(1)增区间为(0,减区间为,)(2)略解析(1)当a时,f(x)lnxx2x,且定义域为(0,),因为f(x)x1,当x(0,)时,f(x)0;当x(,)时,f(x)0在1,)上恒成立,所以g(x)在1,)上是增函数,且g(1)0,所以g(x)0在1,)上恒成立,即当a0时,不等式f(x)x1在1,)上恒成立2(2018福建连城期中)已知函数f(x)(a)x2lnx(aR)(1)当a1时,求f(x)在区间1,e上的最大值和最小值;(2)若在区间1,)
11、上,函数f(x)的图像恒在直线y2ax的下方,求实数a的取值范围答案(1)f(x)maxf(e)1,f(x)minf(1)(2)当a,时,在区间(1,)上函数f(x)的图像恒在直线y2ax的下方解析(1)当a1时,f(x)x2lnx,f(x)x.当x1,e时,f(x)0,所以f(x)在区间1,e上为增函数,所以f(x)maxf(e)1,f(x)minf(1).(2)令g(x)f(x)2ax(a)x22axlnx,则g(x)的定义域为(0,)在区间(1,)上,函数f(x)的图像恒在直线y2ax的下方等价于g(x),令g(x)0,得x11,x2,当x2x11,即a0,此时g(x)在区间(x2,)上
12、是增函数,并且在该区间上有g(x)(g(x2),),不合题意;当x2x11,即a1时,同理可知,g(x)在区间(1,)上是增函数,有g(x)(g(1),),不合题意若a,则有2a10,此时在区间(1,)恒有g(x)0,从而g(x)在区间(1,)上是减函数,要使g(x)0在此区间上恒成立,只需满足g(1)a0,即a,由此求得实数a的取值范围是,综合可知,当a,时,在区间(1,)上函数f(x)的图像恒在直线y2ax的下方3(2018西城区期末)已知函数f(x)(xa)ex,其中e是自然对数的底数,aR.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a1时,试确定函数g(x)f(xa)x2的零点个数,并说
13、明理由答案(1)单调递减区间为(,a1),单调递增区间为(a1,)(2)仅有一个零点解析(1)因为f(x)(xa)ex,xR,所以f(x)(xa1)ex.令f(x)0,得xa1.当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下:x(,a1)a1(a1,)f(x)0f(x)故f(x)的单调递减区间为(,a1),单调递增区间为(a1,)(2)结论:函数g(x)有且仅有一个零点理由如下:由g(x)f(xa)x20,得方程xexax2,显然x0为此方程的一个实数解,所以x0是函数g(x)的一个零点当x0时,方程可化简为exax.设函数F(x)exax,则F(x)exa1,令F(x)0,得xa.当x变化时,
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