2019届高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12.6离散型随机变量的均值与方差学案理北师.wps
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1、12.612.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 最新考纲 考情考向分析 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、 以理解均值与方差的概念为主,经常以频率 方差的概念. 分布直方图为载体,考查二项分布、正态分 2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点 布的均值与方差掌握均值与方差、正态分 及曲线所表示的意义 布的性质和求法是解题关键高考中常以解 3.会求简单离散型随机变量的均值、方差, 答题形式考查、难度为中等偏上. 并能解决一些简单问题. 1离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X的分布列为 P(Xai)pi(i1,2,r) (1)均值 EXa1p1a2p2arpr,均值 E
2、X刻画的是 X“取值的 中心位置” (2)方差 DXE(XEX)2为随机变量 X的方差,它刻画了随机变量 X与其均值 EX的平均偏离程度 2二项分布的均值、方差 若 XB(n,p),则 EXnp,DXnp(1p) 3正态分布 (1)XN(,2),表示 X服从参数为 和 2的正态分布 (2)正态分布密度函数的性质: 函数图像关于直线 x 对称; (0)“”“的大小决定函数图像的 胖瘦”; P(2c1)P(X2c1)P(X4,根据正态曲线的对称 1 性,当函 数 f(x)x24x 没有零点的概率是 时,4. 2 题型一 离散型随机变量的均值、方差 命题点 1 求离散型随机变量的均值、方差 典例 某
3、银行规定,一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定小王 到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 3 6 个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试若密码正确,则结束尝试;否 则继续尝试,直至该银行卡被锁定 (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X,求 X的分布列和均值 解 (1)“”设 当天小王的该银行卡被锁定 的事件为 A, 5 4 3 1 则 P(A) . 6 5 4 2 (2)依题意得,X所有可能的取值是 1,2,3. 1 5 1 1 5 4 2 又 P(X1)
4、 ,P(X2) ,P(X3) 1 . 6 6 5 6 6 5 3 所以 X的分布列为 X 1 2 3 P 1 6 1 6 2 3 1 1 2 5 所以 EX1 2 3 . 6 6 3 2 命题点 2 已知离散型随机变量的均值与方差,求参数值 典例 设袋子中装有 a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:取出一个红球得 1 分,取出一个 黄球得 2 分,取出一个蓝球得 3 分 (1)当 a3,b2,c1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随 机变量 为取出此 2 球所得分数之和,求 的分布列; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球,记随机变量 为取出此球所得分
5、数若 E 5 5 ,D ,求 abc. 3 9 解 (1)由题意得 2,3,4,5,6, 3 3 1 2 3 2 1 故 P(2) ,P(3) , 6 6 4 6 6 3 2 3 12 2 5 P(4) , 6 6 18 2 2 1 1 P(5) , 6 6 9 1 1 1 P(6) . 6 6 36 所以 的分布列为 2 3 4 5 6 P 1 4 1 3 5 18 1 9 1 36 4 (2)由题意知 的分布列为 1 2 3 P a abc b abc c abc a 2b 3c 5 所以 E , abc abc abc 3 5 a 5 b 5 c 5 D(13 ) 2abc(23 )2a
6、bc(33 )2 ,化简得Error! abc 9 解得 a3c,b2c,故 abc321. 思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的分布列,然后利用 均值、方差公式直接求解 (2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组), 解方程(组)即可求出参数值 (3)由已知条件,作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义,对实际问题作出判断 跟踪训练 (2017青岛一模)为迎接 2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促 销活动该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过 1 小
7、时免费,超过 1 小时的部分每小时收费 标准为 40元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动, 1 1 设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为 ,;1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 4 6 1 2 ,;两人滑雪时间都不会超过 3 小时 2 3 (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ,求 的分布列与均值 E,方差 D. 解 (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为 0,40,80元, 1 1 1 1 2 1 甲、乙两人 2 小时以上且不超过 3 小时离开的概率分别为(1 , 3) . 2)
8、 4 (1 4 6 6 1 1 1 两 人都付 0 元的概率为 P1 , 4 6 24 1 2 1 两人都付 40 元的概率为 P2 , 2 3 3 两人都付 80 元的概率为 1 1 1 P3 , 4 6 24 则两人所付费用相同的概率为 5 1 1 1 5 PP1P2P3 . 24 3 24 12 (2)设甲、乙所付费用之和为 , 的可能取值为 0,40,80,120,160,则 1 1 1 P(0) , 4 6 24 1 2 1 1 1 P(40) , 4 3 2 6 4 1 1 1 2 1 1 5 P(80) , 4 6 2 3 4 6 12 1 1 1 2 1 P(120) , 2
9、6 4 3 4 1 1 1 P(160) . 4 6 24 所以 的分布列为 0 40 80 120 160 P 1 24 1 4 5 12 1 4 1 24 1 1 5 1 1 E0 40 80 120 160 80. 24 4 12 4 24 1 1 5 1 1 D (0 80)2 (40 80)2 (80 80)2 (120 80)2 (160 80)2 24 4 12 4 24 4 000 . 3 题型二 均值与方差在决策中的应用 典例 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站过去 50 年的水文资料显示,水库年 入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和单位:亿立方米
10、)都在 40 以上其中, 不足 80 的年份有 10年,不低于 80且不超过 120 的年份有 35 年,超过 120的年份有 5 年,将 年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的入流量相互独立 (1)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X限制, 并有如下关系: 年入流量 X 40120 发电机最多 1 2 3 可运行台数 若某台发电机运行,则该台发电机年利润为 5 000 万元;若某台发电机未运行,则该台发电机 年亏损 800 万元欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发
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