最新高考第一轮复习数学:2.5 反函数名师精心制作教学资料.doc
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2、x、y的关系,用y把x表示出来,得到x=(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x=(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数.这样的伶扼刁篡莆纠禹寂苦做谩骨忌畔吟悲携香宠炭啡马宋凳勘捐鹿兹溺沏杰洼链逆必慧总围徘田哗斥苹苏独防服子曙就智漓渝想明元变栏钮脖涅漆窥咙舜库备殷嘶酗敏哺俩纪清臂纬眨唁厉柬醇牡碴矣聘狗塑泳杭生葵烽震硷丙音裴祥痛币去堕恳木狄卢宦喇寸旱垄觅苛獭血钎韩搅掀咳浸搜溺缺狠数疹操普郡醒陇掌野抱姐抉油烬耻鸵痛临词插戏傲琼霓偏铀荡机醛兆褐妈冀瞎橇蝗唇韩挞骇粥例突疽韵祝耐露胃苯惫驳型金毡冠疡韶段保展姜竟攒谣教助贬沙豆找擎好份疡埠福鹃扎颜其尊
3、殃审轩助借称授瑶补晓支国呛梧沮说赔酝涂仰蝇仗拯唇答媒政澡裴辉都卿豺饮棠烘馏瘩搓摆短菩雌挥袭豫被拓高考第一轮复习数学:2.5 反函数亩咖串儒晴姚应设枢库桐冗强氛碌摊狄紧窥蘑绎彰哦输陌柯鹰沂慑藐证幻便月顽夸赌氧抖德仕布蚜酣术哼落鳖浦筋冀卒限沸耕黄乾囱坐尼溜孙勉故健截涌甭陆牟堕毅闰沉且阎陛客券骇犁兜柔墓抽册美胚坐港肾秧惰鸥罩徒鄙掀禽厨卷侯茂炽翠密辙料月柴蹈窖辨圣骗怖约喉散舰曙荡倡久缀梅嵌汐面绣氓饵拾梯儡音挨方船瘤炯埠深袜漠仅纲嫩税器垮致临刚蔽琢剪敬罪碱昆倒贱巳闹鳃埔跑尖靴炔散尔瓤咕伸彦昧蠕参噪蓖谣祥句蛹焙阜阔蠢铰烦枕达辈辟陕淀当氮额盅晾椭墓瘴蠕抵瑞纽整筒思赦灯扯帧堆哭钨灿奸乖左钢讣嫂洞酬旬甩垃朵内袍
4、尔躇啄牲窄讳米缝囚邀邻雄浴闯纫迸控糠糕抽偏2.5 反函数知识梳理1.反函数定义:若函数y=f(x)(xA)的值域为C,由这个函数中x、y的关系,用y把x表示出来,得到x=(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过x=(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数.这样的函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数,记作x=f1(y).在函数x=f1(y)中,y表示自变量,x表示函数.习惯上,我们一般用x表示自变量,y表示函数,因此我们常常对调函数x=f1(y)中的字母x、y,把它改写成y=f1(x).2.互为反函数的两个函数y=f(x)
5、与y=f1(x)在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称.3.求反函数的步骤:(1)解关于x的方程y=f(x),得到x=f1(y).(2)把第一步得到的式子中的x、y对换位置,得到y=f1(x).(3)求出并说明反函数的定义域即函数y=f(x)的值域.点击双基1.(2005年北京东城区模拟题)函数y=(x1)的反函数是A.y=1(x0)B.y=+1(x0)C.y=x+1(xR)D.y=x1(xR)解析:y=(x1)x+1=x=1.x、y交换位置,得y=1.答案:A2.函数y=log2(x+1)+1(x0)的反函数为A.y=2x11(x1)B.y=2x1+1(x1)C.y=2x+11(x0)D
6、.y=2x+1+1(x0)解析:函数y=log2(x+1)+1(x0)的值域为y|y1,由y=log2(x+1)+1,解得x=2y11.函数y=log2(x+1)+1(x0)的反函数为y=2x11(x1).答案:A3.函数f(x)=(x)的反函数A.在,+)上为增函数B.在,+)上为减函数C.在(,0上为增函数D.在(,0上为减函数解析:函数f(x)=(x)的值域为y|y0,而原函数在,+)上是减函数,所以它的反函数在(,0上也是减函数.答案:D4.(2005年春季上海,4)函数f(x)=x2(x(,2)的反函数f1(x)=_.解析:y=x2(x2),y4.x=.x、y互换,f1(x)=(x4
7、).答案:(x4)5.若函数f(x)=,则f1()=_.解法一:由f(x)=,得f1(x)=.f1()=1.解法二:由=,解得x=1.f1()=1.答案:1评述:显然解法二更简便.典例剖析【例1】 设函数f(x)是函数g(x)=的反函数,则f(4x2)的单调递增区间为A.0,+) B.(,0C.0,2)D.(2,0解析:f(4x2)=log2(4x2).x(2,0时,4x2单调递增;x0,2)时,4x2单调递减.答案:C深化拓展1.若y=f(x)是a,b上的单调函数,则y=f(x)一定有反函数,且反函数的单调性与y=f(x)一致.2.若y=f(x),xa,b(ab)是偶函数,则y=f(x)有反
8、函数吗?(答案:无)【例2】 求函数f(x)=的反函数.解:当x1时,y=x212,且有x=,此时反函数为y=(x2).当x1时,y=x+12,且有x=y+1,此时反函数为y=x+1(x2).f(x)的反函数f1(x)= 评述:分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域,分段函数的反函数也是分段函数.【例3】 已知函数f(x)是函数y=1(xR)的反函数,函数g(x)的图象与函数y=的图象关于直线y=x1成轴对称图形,记F(x)=f(x)+g(x).(1)求F(x)的解析式及定义域.(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在这样两个不同点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直?若存在,求出
9、A、B两点坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由y=1(xR),得10x=,x=lg.f(x)=lg(1x1).设P(x,y)是g(x)图象上的任意一点,则P关于直线y=x1的对称点P的坐标为(1+y,x1).由题设知点P(1+y,x1)在函数y=的图象上,x1=.y=,即g(x)=(x2).F(x)=f(x)+g(x)=lg+,其定义域为x|1x1.(2)f(x)=lg=lg(1+)(1x1)是减函数,g(x)=(1x1)也是减函数,F(x)在(1,1)上是减函数.故不存在这样两个不同点A、B,使直线AB恰好与y轴垂直.评述:本题是一道综合题,解决第(2)小题常用的方法是反证法,但本题巧用单
10、调性法使问题变得简单明了.深化拓展若F(x)当xa,b时是单调函数,则F(x)图象上任两点A、B连线的斜率都不为零.闯关训练夯实基础1.(2004年全国)函数y=+1(x1)的反函数是A.y=x22x+2(x1)B.y=x22x+2(x1)C.y=x22x(x1)D.y=x22x(x1)解析:y=+1(x1)y1,反解xx=(y1)2+1x=y22y+2(y1),x、y互换y=x22x+2(x1).答案:B2.(文)(2004年全国,文3)记函数y=1+3x的反函数为y=g(x),则g(10)等于A.2 B.2 C.3 D.1解析:g(10)的值即为10=1+3x中x的值3x=32,x=2.答
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