三大中值定理和泰勒公式在一道题中的几种证明方法.doc
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三大中值定理和泰勒公式在一道题中的几种证明方法罗尔定理(见1 2 3 4 5)、拉格朗日中值定理(见1 2 3 4 5)、柯西中值定理(见1 2 3 4 5)和泰勒公式(?1 2 3 4 5)是沟通函数与其导函数之间的桥梁,在数学分析和高等数学等数学课程中有着广泛的应用。为此,本文通过微分等式中一道经典题来举例说明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式在同一道题中的四种证明方法。 例(见6)设函数 在闭区间 上连续,在开区间 内二阶可导,证明:至少存在一点 ,使得 . 证法一 由于对于固定的 和 , 为常数,于是 而又由达布定理可知:至少存在一点 ,使得 ,从而结论得证。
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