构造思想在数学分析中的应用.doc
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1、构造思想在数学分析中的应用 【摘要】 构造思想是一种重要的数学思想,具有较强的灵活性与创造性.通过构造数列对数学分析中的二个重要定理进行了证明,不仅加深了知识点的理解,而且对提高学生解决问题的能力有重要意义. 【课题名称】 独立学院数学分析的教学方法探究与改革 【课题编号】 JG2014014 一、引 言 数学分析蕴含着丰富的数学思想方法,如类比、变换、化归转化、构造、递推归纳、数形结合等,构造思想是层次较高的一种,灵活运用可以培养学生的创新意识,提高解决问题的能力. 二、构造思想的涵义 在解决问题时,根据问题的条件和结论或问题的性质和特点,构造出一个与研究对象紧密相关的辅助元素,架起一座连接
2、条件和结论的桥梁,从而使原问题得以解决;或者构造出一个符合条件但是不满足结论的反例来否定结论. 三、构造思想的应用 该思想在数学分析中的应用广泛,如通过构造函数证明微分中值定理、通过构造图像证明不等式、通过构造不等式证明重要极限、通过构造反例证明发散等,在此主要介绍构造数列的应用. 1.在数列与其子列的关系中的应用 数列及其数列的子列有以下的性质定理: 数列an收敛当且仅当数列an的任何子列都收敛,且极限值相等.即 lim n an=a任意子列ank,有lim k ank=a 该定理在分析数列收敛性,特别是证明数列发散中有非常重要的作用,只要找到一个发散的子列或者是找到两个收敛的子列极限值不同
3、即可说明,如数列 -1 n ,其偶数项组成的子列收敛于1,奇数项组成的子列收敛于-1,从而 -1 n 发散. 该定理的应用较多,但其充分性的证明在教材中大都没有给出具体证明,下面通过构造的思想对其充分性进行详细的证明,方便学生加深理解. 例1 对于数列an,若an的任意子列ank都有lim k ank=a,则lim n an=a 分析 题目的条件情况太多我们不好入手,且已知若an收敛,则an的任何子列都收敛,且极限值相等,故选择反证法,假设an不收敛于a,只要可以构造出一个子列不收敛于a即可. 2.在海涅定理中的应用 海涅定理是连接函数极限与数列极限的桥梁,有24种形式,但教材中一般只给xx0这一种证明,其他的只给出结论或留给读者.下面通过构造的思想对x的情况的充分性进行证明. 四、小 结 通过以上的结果,可知构造思想比较灵活,但在解题过程中,只要弄清楚条件与结论的本质特点,找出其中的联系便可构造出实现目的的辅助元素.其次海涅定理的其余几种形式的证明可参考上述证明过程. 【
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- 构造 思想 数学分析 中的 应用
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