2018届高考数学大一轮复习第五章数列第二节等差数列教师用书理201710142264.doc
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1、第二节等差数列2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解等差数列的概念;2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式;3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题;4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系。2016,全国卷,3,5分(等差数列基本量的计算)2016,全国卷,17,12分(等差数列通项公式、求和)2016,北京卷,12,5分(等差数列的基本量计算)2016,浙江卷,6,5分(等差数列的创新应用)1.以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主,等差数列的证明也是考查的热点;2.题型主要以选择题、填空题的形式考查等差数列的基本运算与简单性质。解答题往
2、往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查。微知识小题练自|主|排|查1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,定义表达式为anan1d(常数)(nN*,n2)或an1and(常数)(nN*)。(2)等差中项若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有A。2等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是ana1(n1)d。(2)等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d,其前n项
3、和Snna1d或Sn。3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:anam(nm)d(n,mN*)。(2)若an为等差数列,且klmn(k,l,m,nN*),则akalaman。(3)若an是等差数列,公差为d,则a2n也是等差数列,公差为2d。(4)若an,bn是等差数列,公差为d,则panqbn也是等差数列。(5)若an是等差数列,公差为d,则ak,akm,ak2m,(k,mN*)是公差为md的等差数列。(6)数列Sm,S2mSm,S3mS2m,也是等差数列。(7)S2n1(2n1)an。(8)若n为偶数,则S偶S奇;若n为奇数,则S奇S偶a中(中间项)。微点提醒1用等差数列的定义判断数列是
4、否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。2等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的条件判断使用哪一种表达形式。3等差数列与函数的关系:(1)通项公式:当公差d0时,等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且斜率为公差d。若公差d0,则为递增数列,若公差d0,a7a100,所以a80。又a7a10a8a90,所以a90。故当n8时,其前n项和最大。【答案】8微考点大课堂考点一 等差数列的基本运算【典例1】(2016广州联考)已知等差数列an的前n项和为Sn,且a3a64,S55。(1)求数列an的通项
5、公式;(2)若Tn|a1|a2|a3|an|,求T5的值和Tn的表达式。【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由题意知,解得,故an2n7(nN*)。(2)由an2n70,得n,即n3,所以当n3时,an2n70。易知Snn26n,S39,S55,所以T5(a1a2a3)a4a5S3(S5S3)S52S313。当n3时,TnSn6nn2;当n4时,TnS3(SnS3)Sn2S3n26n18。故Tn【答案】(1)an2n7(nN*)(2)T513Tn反思归纳1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。2等差数列的通项公式及前n项和公式
6、共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想。【变式训练】(1)(2016北京高考)已知an为等差数列,Sn为其前n项和。若a16,a3a50,则S6_。(2)(2016江苏高考)已知an是等差数列,Sn是其前n项和。若a1a3,S510,则a9的值是_。【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由已知得解得所以S66a165d3615(2)6。(2)设等差数列an的公差为d,则a1aa1(a1d)23,S55a110d10,解得a14,d3,则a9a18d42420。【答案】(1)6(2)20考点二 等差数列的判定与证明【典例2】(2017兰
7、州模拟)已知数列an中,a1,an2(n2,nN*),数列bn满足bn(nN*)。(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求数列an中的通项公式an。【解析】(1)证明:因为an2(n2,nN*),bn。所以n2时,bnbn11。又b1,所以数列bn是以为首项,1为公差的等差数列。(2)由(1)知,bnn,则an11。【答案】(1)数列bn是以为首项,1为公差的等差数列(2)an1反思归纳等差数列的四种判断方法:(1)定义法:an1and(d是常数)an是等差数列。(2)等差中项法:2an1anan2(nN*)an是等差数列。(3)通项公式:anpnq(p,q为常数)an是等差数列。(4)前n项
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