[工学]第3章 函数逼近与曲线拟合演示.doc
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1、第三章 函数逼近与曲线拟合1 函数的逼近与基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令,因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值,必须产生可用四则运算进行计算的近似式,一般为多项式和有理分式函数.实际上,我们已经接触到两种逼近多项式,一种是泰乐多项式,一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法,误差分布不均匀,满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高,不宜在计算机上直接使用.例如,设是上的光滑函数,它的Taylor级数,在上收敛。当此级数收敛比较快时,。这个误差分布是不均匀的。当时,而离开零点增加时,单调增加,在误差最大。为了使的所有满足,必须选取足够大的,这显
2、然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明,非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是,实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差,此时如果要求逼近函数过全部节点,相当于保留全部数据误差,这是不适宜的。如图1所示,给出五个点上的实验测量数据,理论上的结果应该满足线性关系,即图1中的实线。由于实验数据的误差太大,不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数,显然误差会很大。实验数据真函数插值多项式逼近精确的线性逼近图11.2范数与逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物,不得不研究事物间的内在联系,给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上
3、常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构,并将这样的集合称为空间.最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算,使其构成线性空间.例如将所有实维数对组成的集合,按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间,记作,称为维向量空间.类似地,对次数不超过的实系数多项式全体,按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域上一个线性空间,用表示,称为多项式空间.所有定义在上的连续函数集合,按函数加法和数与函数乘法构成数域上的线性空间,记作.类似地,记为具有阶连续导数的函数空间.在实数的计算问题中,对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中,我们常常会遇到对一
4、般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题,因此有必要在一般线性空间上,赋予“长度”结构,使线性空间成为赋范线性空间.定义1 设是数域上一个线性空间,在其上定义一个实值函数,即对于任意及,有对应的实数和,满足下列条件(1) 正定性:,而且当且仅当;(2) 齐次性:;(3) 三角不等式:;称为上的范数,定义了范数的线性空间就称为赋范线性空间.以上三个条件刻划了“长度”、“大小”及“距离”的本质,因此称为范数公理.对上的任一种范数,显然有.上常用的几种范数有:(1) 向量的-范数:(2) 向量的1-范数:(3) 向量的2-范数:(4) 向量的-范数:其中,可以证明向量函数是上向量的范数.
5、前三种范数是-范数的特殊情况().我们只需表明(1).事实上及,故由数学分析的夹逼定理有。类似地对连续函数空间,可定义三种常用范数:(1) -范数:(2) 1-范数:(3) 2-范数:可以验证这样定义的范数均满足定义1中的三个条件.二、内积与内积空间在线性空间中,仅规定了加法与数乘两种运算.为了使线性空间中的向量元素之间具有夹角的概念,我们需引入第三种运算内积.定义2 设是数域(或)上的线性空间,对有中一个数与之对应,记为,它满足以下条件内积公理:(1)共轭对称性:(2)第一变元线性:(3)正定性:,当且仅当时,则称二元函数为上与的内积.定义了内积的线性空间称为内积空间.当实线性空间,称是实内
6、积空间;当复线性空间,称是复内积空间.如果,则称与正交,这是中向量相互垂直概念的推广.定理1设为一个内积空间,对,有 (1.1)称为Cauchy-Schwarz不等式.证明 设,则,对如何实数有取,代入上式右端,得即(1.1)式得证.当时,(1.1)式显然成立.定理2 设为一个内积空间,矩阵 (1.2)称为克莱姆(Gramer)矩阵,则非奇异的充分必要条件是线性无关.证明 奇异存在非零向量,使得.即即线性相关. 定理3(Gram-Schmidt正交化方法)如果是内积空间中一个线性无关的序列,则可按照公式 (1.3)产生一个正交序列,满足 ,而且此序列是的一组基.在内积空间上可以由内积导出一种范
7、数,即对于,记容易验证它满足范数的定义,其中三角不等式可以由定理1证明.例1 与的内积.设,则内积可定义为 (1.4)由此导出向量2-范数为若给定实数,称为权系数,则在上可定义加权内积为 (1.5)相应的范数为不难验证(1.5)给出的满足内积定义3.2的条件.当时,(1.5)就是(1.4).如果,带权内积定义为其中仍为正实数序列,为的共轭.也可以在上定义带权的内积,为此,我们先给出权函数的定义.定义3 设是有限或无限区间,在上的非负函数满足条件:(1)存在且为有限值;(2) 对上的非负连续函数,如果,则.则称是区间上的一个权函数.从定义可看出:1)为上的非负可积函数,且当为无限区间时,要求具有
8、任意的衰减性;2)在的任一子区间上不恒等于零.例2 上的内积.设,是上给定的权函数,则可定义内积容易验证它满足内积定义的四条性质,由此内积导出的范数为分别称为带权的内积和范数,特别常用的是的情形,即三、逼近用简单函数组成的函数类中“接近”于的函数近似地代替,称是的一个逼近,称为被逼近函数,两者之差 (1.6)称为逼近的误差或余项.这里必须表明两点:其一是函数类的选取.何为简单函数?在数值分析中所谓简单函数主要是指可以用四则运算进行计算的函数,最常用的有多项式及有理分式函数;其二是如何确定与之间的度量.定义4 设为定义在区间上某类函数组成的线性赋范空间,是中给定的函数,若在函数类中,求得函数,使
9、逼近误差满足下列不等式 (1.7)则称是函数类中对满足精度的一致逼近.定义5 设为定义在区间上某类函数组成的线性赋范空间,是中给定的函数,若在函数类中,求得函数,使逼近误差满足下列不等式 (1.8)则称是函数类中对满足精度的平方逼近.定义6 设是一线性赋范空间,是的一个子集.如果对于中给定的,在中存在一元素,使得 (1.9)则称是中对的最佳逼近.特别地,若,称为最佳一致逼近;若,称为最佳平方逼近.本章讨论最佳一致逼近及最佳平方逼近是否存在?是否唯一?如何构造最佳逼近等.2 曲线拟合的最小二乘法在生产实际和科学实验中有很多函数,它的解析表达式是不知道的,仅能通过实验观察的方法测得一系列节点上的值
10、。即得到一组数据或者说一组点。现在的问题是寻求的近似表达式,用几何语言来说就是寻求一条曲线来拟合(平滑)这个点,简言之求一曲线拟合。一般给定数据点的数量较大,且准确程度不一定高,甚至于个别点有很大的误差,形象地称之为“噪音”。若用插值法求之,欲使满足插值条件,势必将“噪音”带进近似函数,因而不能较好地描绘。曲线拟合是求近似函数的又一类数值方法。它不要求函数在节点处与函数同值,即不要求近似曲线过已知点,只要求它尽可能反映给定数据点的基本趋势,在某种意义下“逼近”函数。下面我们先举例说明。例1 给定一组数据如下:123424681.12.84.97.2求的函数关系。解 先作草图。如图2所示,这些点
11、的分布接近一条直线,因此可设想为的一次函数。设 (2.1)从图2不难看出,无论取何值,直线都不可能同时过全部数据点。怎样选取,才能使直线(2.1)“最好”地反映数据点的基本趋势?首先要建立好的标准。2 4 6 88642图2假设已经确定,为由近似函数求得的近似值,它与观测值之差称为残差。显然,残差的大小可作为衡量近似函数好坏的标准。常用的准则有以下三种:(1)使残差的绝对值之和最小,即;(2)使残差的最大绝对值最小,即;(3)使残差的平方和最小,即。准则(1)的提出很自然,也合理,但实际适用不方便。按准则(2)来求近似函数的方法称为函数的最佳一致逼近。按准则(3)确定参数,求得近似函数的方法称
12、为最佳平方逼近,也称曲线拟合(或数据拟合)的最小二乘法。它的计算比较简便,是实践中常用的一种函数比较方法。2.1最下二乘原理根据给定的数据组,选取近似函数形式,即选择函数类,求函数,使得为最小。这种求近似函数的方法称为数据拟合的最小二乘法,称为这组数据的最小二乘函数。通常取为一些比较简单函数的集合。用最小二乘法求拟合曲线时,最困难和关键的问题是确定的形式,这不单纯是数学问题,还与所研究问题的运动规律及观察数据有关。通常是画出观察数据的草图,并结合实际问题的运动规律,确定的形式。此外,在实际问题中,由于各点的观测数据精度不同,常常引入加权方差,即确定参数的准则为使得最小,其中为加权系数(可以是实
13、验次数或的可信程度等)。2.2 法方程在指定的函数类中求拟合已知数据的最小二乘解的关键在于确定系数。它可转化为多元函数极小值问题。由极值的必要条件,得方程组即记则法方程组为 (2.2)其中,,必须指出的是:由函数族的线性无关性,不能保证以上矩阵非奇异。为保证非奇异,必须附加另外的条件。定义7 设的任意线性组合在点集上至多只有个不同的零点,则称在点集上满足哈尔(Haar)条件。显然在任意个点上满足哈尔条件。可以证明,如果在点集上满足哈尔(Haar)条件,则法方程(2.2)的系数矩阵非奇异,于是方程(2.2)存在惟一的解,从而可获得最小二乘拟合函数。可以证明这样得到的的确是最小二乘解。2.3 常用
14、的拟合方法一、多项式拟合数据是, 。法方程为即 (2.3)例2 求数据表1234-1-0.75-0.5-0.25-0.22090.32950.88261.43295678900.250.50.7512.00032.56453.13343.76014.2836的最小二乘二次拟合多项式。解 二次拟合多项式为,将数据代入正则方程组(2.3),可得其解为,所以此数据组的最小二乘二次拟合多项式为二、通过变换转化为线性拟合问题我们的基本思路是通过作变换,将非线性拟合问题转化为线性拟合问题求解,然后经反变换求出非线性拟合函数。1)指数函数。如果数据组的分布近似指数曲线,则可考虑用指数函数去拟合数据,按最小二
15、乘原理,的选取使得为最小。由此导出的正则方程组是关于参数的非线性方程组,称其为非线性最小二乘问题。作变换:,则有其中。上式右端是线性函数。当函数求出后,则函数的数据组经变换后,对应函数的数据组为 。例3 设一发射源的发射强度公式形如,现测得与的数据如下表0.20.30.40.50.60.70.83.162.381.751.341.000.740.56解 先求数据表0.20.30.40.50.60.70.81.15060.86710.55960.29270.0000-0.3011-0.5798的最小拟合直线。将此表数据代入正则方程组(2.3),可得其解为。所以发射强度公式近似为。2)双曲函数。例
16、4 在某化学反应里,根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表,要求浓度与时间的拟合曲线。时间(分)12345678浓度4.05.48.03.89.229.59.79.891011121314151610.010.210.3210.4210.510.5510.5810.602 4 6 8 10 12 14 16108642图3解 将数据描在坐标纸上,如图3。我们看到开始时浓度增加较快,后来增长逐渐减弱,当时趣于某个常数,故有一水平渐近线。另外,当时,反应还未开始,浓度应为零。根据这些特点,可设想拟合曲线是双曲型它与给定数据的规律大致符合。上述模型是非线性参数问题,可以通过变量的变换变为线性参数的
17、数学模型拟合数据。其中分别由原始数据根据变换公式计算出来。我们建立相应的法方程组解此方程组得从而得拟合曲线求数据组的最小二乘拟合函数的步骤:(1)由给定数据确定近似函数的表达式,一般可通过描点观察或经验估计得到;(2)按最小二乘原则确定表达式的参数,即由正则方程组,求解得参数。值得注意的是:一些简单的非线性最小二乘问题通常先作变换将问题转化为线性最小二乘问题求解。评论:(1)先作变量代换对新变量求最小二乘拟合函数,然后再还原所得近似函数与直接对原变量按最小二乘原则求得拟合函数是不同的。但由于实际计算时,人们主要关心的是问题的简化,就把两者较小的差别忽略了。(2)以上我们是通过描点观察或经验估计
18、来确定拟合函数的形式,更一般的拟合函数的选择问题,请参考冯康所编著的数值分析。(3)当时,最小二乘法的正则方程组一般是病态的,愈大病态情形更严重。为了避免求解病态方程组,我们必须引入点集上的正交函数族。对离散和连续两种情形,通过引进内积与范数的概念,将它们统一起来。在离散情形,我们定义函数与的内积为在连续情形,则定义函数与的内积为容易验证以上两种均定义了内积空间。注:对离散情形,说是指在点不全为零。2)点集上的正交函数拟合定义8若函数族在点集 上满足 (2.4)则称为带权关于点集的正交函数族。如果为点集上的正交函数族,则法方程为其中 (2.5)因此拟合函数为 (2.6)其中 (2.7)平方误差
19、为 (2.8)通过Schmidt方法,可构造下列多项式系() (2.9)是以为权关于点集的正交函数族,其中(2.10)注:1)条件保证分母,。因为分母中的最高是次多项式,最多有个根。2)关于点集的正交多项式族是一个有穷的序列。事实上,如果个非零向量互相正交,那么是维空间的基向量,因此任何一个与它们都正交的向量必然是零向量,即。于是这就意味着多项式不再满足正交性。下面用归纳法证明这样给出的是正交的,即。由对称性,不妨设。由(2.9)及(2.10),显然假设命题成立,那么当时(2.11)由归纳法假定,当时另外,是首项系数是为1的次多项式,它可由的线性组合表示,而,故由归纳法假定又有于是由式(2.1
20、1),当时,。当时,由式(2.9)及归纳假设得 (2.12)由假设于是。当时,有至此已证明了由(2.9)及(2.10)确定的多项式组成一个关于点集的正交系。利用关于点集的正交函数族求数据组的最小二乘拟合多项式的过程是:(1)利用式(2.9)和(2.10)构造正交函数族;(2)由(2.6)-(2.7)得最小二乘次拟合多项式。例5 利用正交函数族求例2所给数据表的最小二乘二次拟合多项式。解 按式(2.9)和(2.10)计算,得由式(2.7),得得最小二乘二次拟合多项式为3 正交多项式正交多项式是函数逼近的重要工具,在数值积分中也有重要的应用.3.1 正交函数族与正交多项式定义9 若,为上的权函数且
21、满足 (3.1)则称与在上带权正交.若函数族满足关系 (3.2)则称是上带权的正交函数族;若,则称之为标准正交函数族.例如,三角函数族就是在区间上的正交函数族。因为对有与时而对,当时有定义10 设是是首项系数的次多项式,为上的权函数,如果多项式序列满足关系式(3.2),则称多项式序列为在上带权正交,称为上带权的次正交多项式.只要给定区间及权函数,均可由一族线性无关幂函数,利用Gram- Schmidt方法构造出正交多项式序列:, (3.3)这样构造的具有如下基本性质:(1)是最高次项的系数为1的次多项式;(2)对任何均可表示为 的线性组合,即(3)与任何次数小于的多项式正交,即关于正交多项式还
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