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1、第六章:线性离散系统的分析与校正6.1 离散系统 离散系统-系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码,称之为离散系统。 挂图举例-炉温采样控制系统采用检流计(灵敏度、精度高),可以提高系统控制精度。采样调节,风门调节逐渐进行,可避免出现过调,出现波动。 学习离散系统分析设计方法的目的:用于计算机控制系统的分析、设计。计算机控制系统的原理框图:等效结构图:1、采样-保持过程。A/D:相当于一个采样开关数字机:数码处理装置:用+开关描述其输入输出特性。D/A:用ZOH零阶保持器实现数码的一拍保持。2、采样系统的特点:3、采样系统的研究方法数学工具Z变换研究方法连续系统研究方法的推广。6.2信号的采样
2、与保持1、 采样过程设理想单位脉冲序列采样信号可表示为:(1)(2)例1:,求。 解:例2:,求。解:另外,若将采样函数(理想单位脉冲序列)展开为富氏级数:采样角频率富氏级数(3)(4)例3:例4:比较式(3)、(4)有: 先对L变换之后再乘 先乘之后L变换前式:后式:2、信号的复现频谱:是以角频率为周期的周期频谱香农采样定理:信号完全复现的必要条件或 给出了不产生频率混迭的采样角频率的下界(或采样周期T的上界),若找到一个理想滤波器(铅笔所画为其幅频特性),便可实现信号完全复现。3、零阶保持器ZOH单位脉冲响应 ZOH的频率特性: 零阶保持器频率特性与理想滤波器频率特性不同,不能实现完全复现
3、。 零阶保持器有相角延迟(近似可视为一个环节)对系统性能不利。6.3 Z变换理论采样信号的拉氏变换是s的超越函数,不便于分析处理,故引入Z变换的工具。1、Z变换的定义:注:Z变换只对离散信号而言,是的像原函数,是的Z变换。只对应唯一的离散信号,不对应唯一的连续信号。2、Z变换方法:例1、,求解法一、(级数求和法)解法二、查表法: 例2: 求解一、级数求和法:解二、查表法: Z变换的局限性:只反映采样点上的信息;不对应唯一的连续函数。典型信号Z变换。例1、 单位脉冲例2、 单位阶跃:例3、 单位理想脉冲序列: 例2、例3中:;但;例4、单位斜坡:由例2、3有:两边对z求导:两边乘以:例5、 指数
4、函数:例6 、正弦信号: 例7、已知,求。解:注。例8、查表法:3、Z变换基本定理(1)线性性质:(1)(2)实位移定理延迟定理: :延迟算子(2)超前定理:(3)证(2)式:证(3)式:时:时:综合有(3)式。例:,求解:例:,求解: (3)复位移定理:(4)证:令例:求解:已知依(4) (4)初值定理:(5)证:依定义(5)终值定理(6)证:取极限:例:求。解: (6)卷积定理:设:则(6)Z域微分定理:(7)证:例:例:(7)Z域尺度定理: a: 常数(8)证:例:解:由(8):4、例1、用三种方法求反变换解一:用幂级数法:解二:部分分式法:解三:留数法: z平面上包围全部极点的曲线G积
5、分例2:用部分分式法,留数法求反变换解一:部分分式法:解二:留数法:例 已知,求解:用留数法: (是的二重根)例: 已知试求Z反变换解:依留数法: 6.4 离散系统数学模型1、线性差分方程及其解法:(1)差分定义:记为同理定义后向差分:(2)差分方程:由变量及其各阶差分构成的等式例:已知连续系统微分方程为:现将之离散化,改用采样方式对系统进行控制,求对应的(前向)差分方程。解:用各阶前向差分方程代替原方程中的各阶导数(T=1时可以如此近似处理),得:依差分定义:离散系统差分方程相对应于微分方程可以递推求解:(3)差分方程求解:(与连续域中用拉氏变换方法解微分方程的方法相类似)I:求初条件,在(
6、*)式中,令II: 求E(z):对(*)两边同时进行Z变换:III:Z变换求解:依反变换公式:2、脉冲传递函数(1)、脉冲传递函数的定义:零初始条件下,离散系统输出脉冲序列Z变换与输入脉冲序列Z变换之比。注:G(z)是离散信号到离散信号之间的传递关系;是线性系统(或环节)与采样开关组合体的脉冲传递函数。当系统输出是连续信号时,可虚设一个输出采样开关,沿用G(z)概念。(2)G(z)的求法:(3)G(z)的性质:G(z)是复变量z的有理分式(一般是有理真分式);与相应的系统差分方程有直接联系;是系统响应序列的Z变换;与z平面上一定的零极点分布图相对应。例: 如右图所示系统:3、开环脉冲传递函数(
7、1)环节间无采样开关相隔时:(2)环节间有采样开关相隔时:注:一般地,(3)带有零阶保持器时的情况注:ZOH不断增加系统的阶次;不改变系统开环极点;它只影响开环零点。4、闭环脉冲传递函数采样开关在离散闭环系统中有多种配置方式,求时,一般没有像梅逊公式一样的通用方法,需要根据闭环结构特点,用代数方法或结构图变换方法逐步导出系统的。例1、例2: 根据开关后离散信号离散信号列出中间方程,消去中间变量,可以得出。 由于采样开关位置不同,系统信号通过中连续、离散信号的作用效应不同,一般不能简单应用连续系统中结构图等效变换规则。所以,在离散系统中进行结构图等效变换化简时,要特别注意变换的等效性。例3、求,
8、解I:作用时:而: 解II: 作用时:而: 以下两种情形下,可以利用梅逊公式(推导),或C(z)表达式。(1)单回路离散系统(不存在前馈),且前向通道存在一个实际采样开关时;(2)系统结构图中各环节间都存在(或等效存在)采样开关时。输入端不存在(或等效存在)采样开关时,R(z)不能分离,只能写出C(z)表达式。例4、系统如右,求C(z)表达式。解:例5、系统如右,求解:6.5采样系统稳定性与稳态误差1、s域到z域的映射及z域稳定判据。(1)参数s图型z图型任意平行于虚轴的直线原点为圆心的圆半径任意水平线=常值的射线(2)z域稳定判据。稳定判据的解析说明: 设系统中当扰动输出时:当,随时间增加,
9、系统回到平衡位置。系统稳定。例:已知系统脉冲传递函数:判定系统稳定性解:依题(3)朱利稳定判据避免直接解根,由D(z)判定系统稳定性。设闭环系统特征根为:列朱利矩阵:元素定义:,系统稳定充要条件:例:已知系统闭环特征方程如下,判定系统稳定性。解:朱利矩阵:可见,其它条件均满足。但条件不成立所以系统不稳定。事实上例、系统如右:讨论加或不加零阶保持器时,系统T=1,K=0变化时的根轨迹,并分别确定使系统稳定的K值范围。解一:无ZOH时:作根轨迹:分离点:,在处:稳定范围:解二、有ZOH时:作根轨迹:分离点:整理得,解得:根轨迹半径:在A点:依题应有:联立求解:可见:由于零阶保持器引入后,附加了相角
10、延迟,系统稳定范围减小。线性连续二阶系统是绝对稳定的,不论K多大,(K0)系统一定稳定;线性离散二阶系统当K时,可能出现不稳定,并且一般有如下特点:T稳定程度 (T越大,信息损失越大)K稳定程度(K越大,系统自身稳定程度下降)虚部: 实部:域圆族2、映射,域的稳定判据。(1)(双线性)变换:,设复数则:令 (2),可以借用连续域中的所有判定稳定的方法。例1、系统如右,、 设T=1,K=1,判定系统稳定性。、T=1,确定K的稳定范围。、用对数稳定判据判定系统稳定性。解:列劳斯表:即要求:即:、当K=1时,明显系统是稳定的。、T=1时,K的稳定范围为(用对数稳定判据判定系统稳定性,见下页)3、离散
11、系统的稳态误差(1)、计算稳态误差的一般方法:例:系统如右图所示,已知: 求当 时,解:依题判定稳定性:时, 时,时:(2)静态误差系数法。(适用于(1)“误差口有开关”;(2)r(t)作用下)设系统稳定:且:型别v000I00II00例、系统如右、,分别讨论在有或没有ZOH是系统的稳态误差,并比较之。解一、不带ZOH时: 解二、带ZOH时:单回路误差采样系统,但采用ZOH时,r(t)作用下的稳态误差与相应连续系统相同,而与采样周期T无关;当没有ZOH时,稳态误差一般与采样周期T有关。6.6 离散系统的动态性能分析 1、Z与稳定判据:(1)、主带:辅带:(2)Z与稳定判据全部根落在单位元之内。
12、设:例:已知解、 依题:有一根落在单位元上,系统临界不稳定。(3)朱利例:另见例p356(4)z域极点与采样系统动态特性的关系:(i)、正实轴上:(ii)、负实轴上:(iii)复平面上:同一圆上,包络线收敛速度相同;同一射线上,采样频率相同;的大小,取决于是否在等线上。(5)z域根轨迹法连续系统:总稳定。采样系统:最后会不稳定。采样丢失了部分信息稳定性变差。讨论连续系统和相应的离散系统(分带零阶保持器和不带零阶保持器的两种情况)的阶跃响应指标,设; 连续系统: 离散系统I(不带ZOH) 离散系统II(带ZOH)时间序列nT离散系统I 1(t)响应序列及指标离散系统II 1(t)响应序列及指标0
13、0010.6320.36821.0971.31.2071.441.1171.451.0141.14760.9640.89570.9700.80280.9910.86891.0040.993101.0071.077111.0031.081121.1.032131.0.981141.0.961151.0.973指标系统类型连续系统离散系统I(不带ZOH)离散系统II(带ZOH)1113.633416.3%20.7%40.0%7512振荡次数0.50.51.56.7 离散系统的数字校正1 最少拍系统设计系统如右图所示:-(1) 最少拍系统:在典型输入作用下,能以有限拍结束响应过程,并且采样点上没有稳态误差。 设计原则:典型输入表达式: 依最少拍系统设计原则,应有:应要求 -(2)而:-(3)即:选的标准:的全部极点应位于z平面的原点上。 最少拍系统设计步骤:求G(z)没有单位圆上及圆外的零极点; 针对特定的典型输入选 确定; 写出 最少拍系统的缺陷:只对所针对的典型输入有较理想的响应,对不同输入适应性不强;有波纹,磨损系统。最少拍系统设计响应曲线例1、 采样系统如右图示:已知:设计最少拍系统,求D(z),并求时该系统的响应。解:-无单位圆上及圆外的零极点查p371表7-6最少拍系统设计表(针对)选时:
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