[数学]第26讲:高频考点分析之圆锥曲线探讨.doc
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1、【备战2013高考数学专题讲座】第26讲:高频考点分析之圆锥曲线探讨江苏泰州锦元数学工作室 编辑12讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,38讲,对数学思想方法进行了探讨,912讲对数学解题方法进行了探讨,第13讲第28讲我们对高频考点进行探讨。圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线。其统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线。圆锥曲线具有许多重要的性质,并能直接联系实际应用,在高中数学中占据重要地位。在高考中所占分值一般为20分左右,且多与其他知识点相结合出现,综合性强,难度较大。掌握它的一些重要性质,至关重要。结合2012年全国各地高考的实例,我
2、们从以下七方面探讨圆锥曲线问题的求解:1. 圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质;2. 圆锥曲线的焦点(含焦半径、焦点弦和焦点三角形)问题;3. 点与圆锥曲线的关系问题;4. 直线与圆锥曲线的关系问题;5. 动点轨迹方程;6. 圆锥曲线中最值问题;7. 圆锥曲线中定值问题。一、圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质:典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】例1.(2012年全国课标卷理5分)设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点, 是底角为的等腰三角形,则的离心率为【 】 【答案】。【考点】椭圆的性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义。【解析】是椭圆的左、右焦点,。是底角为的等腰三角形,。为直线上
3、一点,。又,即。故选。例2. (2012年全国课标卷理5分)等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为【 】 【答案】。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】的准线。 与抛物线的准线交于两点, ,。 设,则,得,。故选。例3. (2012年四川省理5分)已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则【 】A、 B、 C、 D、【答案】B。【版权归锦元数学工作室,不得转载】【考点】抛物线的定义【解析】设抛物线方程为,则焦点坐标为(),准线方程为。 点在抛物线上,点到焦点的距离等于到准线的距离。 且,解得。 ,。故选B。例4.
4、(2012年四川省理5分)方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有【 】A、60条 B、62条 C、71条 D、80条【答案】B。【考点】分类讨论的思想,抛物线的定义。【解析】将方程变形得,若表示抛物线,则分=3,2,1,2,3五种情况:(1)若=3, ; (2)若=3, 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;同理当=2,或2时,共有23条; 当=1时,共有16条。综上,共有23+23+16=62条。故选B。例5. (2012年安徽省理5分)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若; 则的面积为【 】 【答案】。【考点】抛物线的性质。【解析】设,
5、。 ,即点到准线的距离为。 ,即。 。的面积为。故选。例6. (2012年浙江省理5分)如图,分别是双曲线:的左、右两焦点,是虚轴的端点,直线与的两条渐近线分别交于,两点,线段的垂直平分线与轴交于点若,则的离心率是【 】 A B C D【答案】B。【版权归锦元数学工作室,不得转载】【考点】直线与圆锥曲线的综合问题,双曲线的简单性质。【解析】如图:设线段的垂直平分线与交于点, |OB|b,|O F1|ckPQ,kMN。直线PQ为:y(xc),两条渐近线为:yx。由,得:Q(,);由,得:P(,)。直线MN为:y(x)。令y0得:xM。又|MF2|F1F2|2c,3cxM,解之得:,即e。故选B。
6、例7. (2012年江西省文5分)椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。若成等比数列,则此椭圆的离心率为【 】A. B. C. D. 【答案】B。【考点】椭圆的性质,等比关系的性质。【解析】设该椭圆的半焦距为c,由题意可得,成等比数列,。,即,即此椭圆的离心率为。故选B。例8. (2012年浙江省文5分) 如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点。若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是【 】A.3 B.2 C. D. 【答案】B。【考点】椭圆和双曲线的方程和性质。【解析】设椭圆的长轴为2a,双曲线的长轴为,由M,O,N将椭圆
7、长轴四等分,则,即,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为c,则双曲线的离心率为,。故选B。例9. (2012年福建省文5分)已知双曲线1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于【 】A. B. C. D.【答案】C。【考点】双曲线的性质。【解析】因为双曲线1的右焦点坐标为(3,0),所以c3,b25,则a2c2b2954,所以a2,所以e。故选C。例10. (2012年江西省理5分)椭圆的左、右顶点分别是,左、右焦点分别是。若成等比数列,则此椭圆的离心率为 .【答案】。【考点】等比中项的性质,椭圆的离心率,建模、化归思想的应用。【解析】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程,
8、求解方程即可: 由椭圆的性质可知:,又已知,成等比数列,故,即,则。,即椭圆的离心率为。例11. (2012年天津市文5分)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则 【答案】1,2。【考点】双曲线的性质。【分析】双曲线的渐近线为,而的渐近线为,。又双曲线的右焦点为,。又,即,。例12. (2012年重庆市文5分)设为直线与双曲线 左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率 【答案】。【考点】直线与圆锥曲线的关系,双曲线的性质。【分析】设,是左焦点,垂直于轴,为直线,。又在双曲线上,例13. (2012年江苏省5分)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为 【答案】2。【
9、考点】双曲线的性质。【解析】由得。 ,即,解得。二、圆锥曲线的焦点(含焦半径、焦点弦和焦点三角形)问题:典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】例1. (2012年全国大纲卷理5分)已知为双曲线的左右焦点,点在上,则【 】A B C D【答案】C。【考点】双曲线的定义和性质的运用,余弦定理的运用。【解析】首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。由可知,。设,则。根据双曲线的定义,得。在中,应用用余弦定理得。故选C。例2. (2012年福建省理5分)已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【 】A. B4 C3 D5【
10、答案】A。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】由抛物线方程知抛物线的焦点坐标F(3,0), 双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合, 双曲线的焦点为F(c,0),且。 双曲线的渐近线方程为:yx,双曲线焦点到渐近线的距离db。故选A。例3. (2012年北京市理5分)在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线的焦点F,且与该抛物线相交于A、B两点,其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为 【答案】。【考点】抛物线的性质,待定系数法求直线方程,直线和抛物线的交点。【解析】根据抛物线的性质,得抛物线的焦点F(1,0)。 直线l的倾斜角为60,直线l的斜率。 由点斜式公式得直线
11、l的方程为。 。 点A在x轴上方,。 OAF的面积为。例4. (2012年安徽省文5分)过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,若,则= 【答案】。【考点】抛物线的定义和性质。【解析】抛物线的准线。 设,。,根据抛物线的定义,点到准线的距离为。,即。又由,得,即。例5. (2012年辽宁省文5分)已知双曲线,点为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若,则的值为 .【答案】。【考点】双曲线的定义、标准方程以及转化思想。【解析】由双曲线的方程可得,。 。 ,。 。例6. (2012年重庆市理5分)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则= .【答案】。【考点】直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质,方程思
12、想的应用。【分析】设直线的方程为(由题意知直线的斜率存在且不为0),代入抛物线方程,整理得。设,则。又,。,解得。代入得。,。例7. (2012年安徽省文13分)如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.()求椭圆的离心率;()已知面积为40,求 的值【答案】解:(I),是等边三角形。 椭圆的离心率。()设;则。在中,即,解得。,。,解得。【考点】椭圆性质和计算,余弦定理。【解析】(I)根据可知是等边三角形,从而可得,求出离心率。()根据余弦定理,用表示出,从而表示出,利用面积为40列方程求解即可。三、点与圆锥曲线的关系问题:典型例题:【版权归锦元数学
13、工作室,不得转载】例1. (2012年浙江省理4分)定义:曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离已知曲线:到直线:的距离等于曲线:到直线:的距离,则实数 【答案】。【考点】新定义,点到直线的距离。【解析】由C2:x 2(y4) 2 2得圆心(0,4),则圆心到直线l:yx的距离为:。由定义,曲线C2到直线l:yx的距离为。又由曲线C1:yx 2a,令,得:,则曲线C1:yx 2a到直线l:yx的距离的点为(,)。例2. (2012年上海市理14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事
14、船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:失事船的移动路径可视为抛物线;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为7. (1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)【答案】解:(1)时,P的横坐标,代入抛物线方程得P的纵坐标。 A(0,12), 。 救援船速度的大小为海里/时。 由tanOAP=,得,救援船速度的方向为北偏东弧度。 (2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为。 由,整理得。 当即=1时最小,即。 救援船的时速至少是2
15、5海里才能追上失事船。【考点】曲线与坐标。【解析】(1)求出A点和P点坐标即可求出。 (2)求出时速关于时间的函数关系式求出极值。例3. (2012年福建省理13分)如图,椭圆E:1(ab0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e,过F1的直线交椭圆于A、B两点,且ABF2的周长为8.()求椭圆E的方程;(II)设动直线l:ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由【答案】解:()|AB|AF2|BF2|8,|AF1|F1B|AF2|BF2|8。又|AF1|AF2|B
16、F1|BF2|2a,4a8,a2。又e,即,以c1。b。椭圆E的方程是1。(II)由得(4k23)x28kmx4m2120。动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),m0且0,64k2m24(4k23)(4m212)0,化简得4k2m230,此时x0,y0kx0m。P。由得Q(4,4km)。假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上。设M(x1,0),则0对满足式的m、k恒成立。,(4x1,4km),由0,得4x1x30,整理,得(4x14)x4x130。式对满足式的m,k恒成立,解得x11。存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M。【考点】椭圆的标准方程
17、,直线与圆锥曲线的综合问题。【解析】()根据过F1的直线交椭圆于A、B两点,且ABF2的周长为8,可得4a=8,即a=2,利用e,b,即可求得椭圆E的方程。()由 消元可得(4k23)x28kmx4m2120,由动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),可得m0,=0,进而可得4k2m230,P。由 得Q(4,4km)。假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上。设M(x1,0),则0对满足式的m、k恒成立。由,(4x1,4km)和0得(4x14)x4x130。由式对满足式的m,k恒成立,得,解得x11。故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M。例4.
18、(2012年福建省文12分)如图所示,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x22py(p0)上(I)求抛物线E的方程;(II)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【答案】解:(I)依题意,|OB|8,BOy30。设B(x,y),则x|OB|sin304,y|OB|cos3012。因为点B(4,12)在x22py上,所以(4)22p12,解得p2。故抛物线E的方程为x24y。(II)由(I)知yx2,yx。设P(x0,y0),则x00,且l的方程为yy0x0(xx0),即yx0xx。由得。所以Q。假设以PQ为直径的圆恒过定点
19、M,由图形的对称性知M必在y轴上,设M(0,y1),令0对满足y0x(x00)的x0,y0恒成立。由(x0,y0y1), 由于0,得y0y0y1y1y0,即(yy12)(1y1)y00(*)。由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立,所以,解得y11。故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)。【考点】抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的综合问题。【解析】(I)依题意,|OB|8,BOy30,从而可得B(4,12),利用点B(4,12)在x22py上,可求抛物线E的方程。(II)由(I)知yx2,yx,设P(x0,y0),可得l的方程为yx0xx,与y=1联立,求得Q。假设以PQ为直径
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