[理学]世界杯冠军与八强的预测数学模型一等奖论文.doc
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1、 2010年湖南师范大学大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读学校颁发的大学生数学建模竞赛的通知与规则.我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是(从A/B/C中选择一项填写): A题 我们的参赛报名号为(如果
2、赛区设置报名号的话): 团队名称 : shujiyuan08 参赛队员 (打印并签名) :1. 徐 所属学院 数计院 联系电话 2. 李 所属学院 数计院 联系电话 3. 王 所属学院 数计院 联系电话 日期: 2010年 5 月 31 日2010年南非世界杯冠军与八强的预测模型摘要世界杯是全世界的一次足球盛会,每届世界杯前夕对冠军的预测成为人们所讨论的热点问题。本文就2010年南非世界杯的冠军及八强的预测建立了数学模型进行了探讨。本文依据南非世界杯赛程,收集了:球队历年交锋记录、世界排名情况、国际足联评分标准等数据,运用了“层次分析法”对本届世界杯前期对手之间的交锋情况(相对实力)进行建模,
3、运用了“六场分析法”对各球队最近比赛状态进行了分析,综合考虑了双方的交锋情况(相对实力)、球队国际排名(绝对实力)、球队近期状态三个因素对杯赛的影响,并且依据2006年德国世界杯比赛的相关情况对这三个因素的影响大小(权数)进行了模拟,该过程运用了“最小二乘法”进行了求解。在建模过程中,我们依据国际足联的评分规则,对不同级别的赛事中不同结果比赛进行了加权处理,另外运用了MATLAB、Excel表格、C/C+等多种计算工具对数据进行了处理,预测了本届世界杯冠军以及8强球队,结果为:巴西队捧得本届“大力神”杯,八强中的其他7支球队分别是法国,阿根廷,英格兰,德国,荷兰,意大利和西班牙 。 最后,我们
4、对模型的优缺点进行了评价,讨论了其推广应用的价值。关键字:层次分析法,世界排名,六场分析法,最小二乘法,加权处理,MATLAB,C/C+。1. 问题的重述1930年世界杯足球赛举办首届, 每4年举行一次,迄今整整80年,中间除二战影响停办两届,已经成功举行了18届,每届世界杯赛前夕,对当届世界杯赛的冠军预测,对进入前8强队伍的预测,始终是一个热门话题,下面请就今年的第19届南非世界杯赛,利用各大网站或书籍上收集到的资料,各小组预选赛的成绩以及以往在大赛中对抗的成绩,给出一些合理的假设与前提,并对今年参赛的队伍建立一个适当的数学模型,给出你对这届世界杯的冠军和8强的预测结果.2.模型假设(1)3
5、2支队伍对比赛场地,当地气候,海拔等外界环境具有相同的适应能力;(2)恶劣天气等突发状况对比赛中各队发挥的影响相当;(3)32支队伍在比赛期间阵容齐整,球员身体健康,不存在球员受伤或离队情况;(4)裁判判罚尺度分明,执法公平公正;(5)每个球员都有良好的职业操守,每场比赛均能全力以赴,不存在打假球的情况;3符号说明 : 级别比赛权数 : 比赛结果为的权数 : X队在级别比赛取得成绩的场次 : X队在相对实力向量计算中的得分 : X队的“相对实力值” : X队的最新世界排名 : X队最新世界排名对应的积分 : 的最大值 : X队的“排名积分值” : X队的对手强度OR : 对手最新世界排名 :
6、在“状态值”求解中的名义得分 : 在“状态值”求解中的实际得分 : “状态值” : 与对手交锋情况对综合实力影响的权数 : 最新世界排名对综合实力影响的权数 : 球队近期状态对综合实力影响的权数 : X队的综合实力 : 得分矩阵G : 情况矩阵E : 比较矩阵4问题分析及模型建立这是一个关于足球比赛结果预测的问题,总共有32支队伍,分为A、B、C、D、E、F、G、H8个小组,其分别为:A组:南非、墨西哥、乌拉圭、法国 B组:阿根廷、尼日利亚、韩国、希腊 C组:英国、美国、阿尔及利亚、斯洛文尼亚 D组:德国、澳大利亚、塞尔维亚、加纳 E组:荷兰、丹麦、日本、喀麦隆 F组:意大利、巴拉圭、新西兰、
7、斯洛文尼亚 G组:巴西、朝鲜、科特迪瓦、葡萄牙 H组:西班牙、瑞士、洪都拉斯、智利赛程:首先小组内部每队分别与其他三队各赛一场,最后按积分排名,选出头两名晋级16强,然后按以下图示赛程进行决赛阶段的比赛: 表一:世界杯决赛阶段赛程表B2C1D2E1F2G1H2?VS? ?A1?B1A2C2D1E2F2G2H1冠军?4.1赛前对手之间交锋情况模型:我们都知道,双方以前的交锋情况在很大程度上能反映它们之间的相对实力大小,所以有必要对双方交锋情况建立模型,进行分析。4.1.1比赛有级别之分,而不同球队对不同级别的比赛重视程度有别,所以比赛的级别对我们评价球队实力有影响。 根据国际足联计算各国世界排名
8、的标准(附件-1),大型足球比赛被分为以下几个级别,并被赋予不同的权值 世界杯正赛=4.0;洲际杯和联合会杯比赛=3.0世界杯预选赛=2.5友谊赛,邀请赛=1.0 4.1.2为了增加模型的精确性,我们还对比赛结果进行大胜(净胜球=3),小胜,平局,小负,大负(净输球=3)的区分:并对其分别赋予=5:4:3:2:1的权值; 4.1.3考虑到一个足球运动员的职业生涯为15年左右,因而只收集了交锋二队从1994年6月至2010年5月期间胜败情况进行分析(数据参见附件4)。4.1.4用层次分析法建立双方的赛前交锋占优模型得分Dx世界杯预选赛友谊赛世界杯正赛大胜小胜平局小负大负洲际赛或联合会杯对于交锋双
9、方a,b两队来说,每队各自的得分分别为在小组赛中,针对四只队伍a,b,c,d,列如下的比较矩阵:E=再采用类似权向量的计算方法,最终得到相对实力向量,Q值越大,其相对实力越强。而在杯赛的决赛阶段,由于采用的是淘汰赛制,所以对于比赛两队e,f来说,依据它们的比较矩阵,可求得实力向量,Q值较大者相对实力较强。4.2.世界排名模型:国际足联根据各队历年来的比赛结果,依据一定的标准,对各队每场比赛给以一个分数,再通过分数的累加,得到一个时间点的各球队世界排名。由此可见,世界排名在很大程度上能反映各球队的绝对实力,这对我们分析综合实力有较大的影响。以下是世界排名模型的建立:4.2.1我们搜集到本届杯赛3
10、2只球队的最新世界排名 及其对应积分 (附件2),且确定max()=;4.2.2定义“排名积分值” : =/ (0= 5.4.5类似5.1,5.2,5.3的求解方法,在2006年世界杯中:(1)1/8决赛 意大利vs.澳大利亚 两队相对实力向量为=( 1,1) (两队没有交锋)两队“排名积分值” =0.880 =0.740两队“状态值” = 0.914 =0.586根据2006年世界杯1/8决赛 意大利vs.澳大利亚的比赛结果是意大利队以1-0战胜澳大利亚队,晋级下一轮,则,即* (2)1/4决赛 意大利vs.乌克兰两队相对实力向量为=( 0.619,0,381 )两队“排名积分值” = 0.
11、880 =0.736两队“状态值” =0.914 =0.976根据2006年世界杯1/4决赛 意大利vs.乌克兰的比赛结果是意大利队以3-0战胜乌克兰队,晋级半决赛,有,即* * . (3)半决赛 意大利vs.德国两队相对实力向量为=(0.5,0.5 )两队“排名积分值” =0.880 =0.842两队“状态值” = 0.914 =0.873根据2006年世界杯半决赛 意大利vs.德国的比赛结果是意大利队以2-0战胜德国队,晋级决赛,有,即* * . (4)决赛 意大利vs.法国两队相对实力向量为=( 0.389,0.611)两队“排名积分值” =0.880 =0.906两队“状态值” = 0
12、.914 =0.745根据2006年世界杯半决赛 意大利vs.法国的比赛结果是意大利队以6-4(点球)战胜法国队,获得世界杯冠军,有,即* * . 5.4.6利用最小二乘准则估计权值,的取值。设预期的模型为,用记作的最小二乘估计,运用最小二乘准则。则需要对求极小值,最优的必要条件是。 对于本题而言,根据以上七个不等式,令: 于是有且=0 I=0 II =0 III又 IV综合以上I II III IV式,运用C/C+表写编程(程序见附件10)实现其计算,求得: =0.215 =0.547 =0.238即可得最优权数:=0.215 =0.547 =0.2385.5 利用5.4中求解到的权值=0.
13、215, =0.547,=0.238预测2010年世界杯成绩。5.5.1 小组赛阶段 根据综合实力,我们能分别求解出8个小组中各支球队的综合实力值,对各小组情况进行排序,则小组头两名出线,晋级十六强。这样的计算我们用excel办公软件实现,结果如下:表五:小组赛成绩表组别小组排名ABCD球队综合实力球队综合实力球队综合实力球队综合实力1法国0.588阿根廷0.590英格兰0.601德国0.6082乌拉圭0.545希腊0.480美国0.536塞尔维亚0.5393墨西哥0.530尼日利亚0.452斯洛文尼亚0.481澳大利亚0.5034南非0.309韩国0.379阿尔及利亚0.479加纳0.427
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