[计算机软件及应用]2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结1到7.doc
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1、2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结(一)集合与简易逻辑基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能,为此作为临考前的高三学生,务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法,其次要熟悉一些基本题型,明确解题中的易误点,还应了解一些常用结论,最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点,按章节进行了系统的整理,最后阐述了考试中的一些常用技巧,相信通过对本资料的认真研读,一定能大幅度地提升高考数学成绩。1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时,尤其要注意元素的互异性,如(1)设P、Q为两个非空实数
2、集合,定义集合P+Q=,若,则P+Q中元素的有_个。(答:8)(2)设,那么点的充要条件是_(答:);(3)非空集合,且满足“若,则”,这样的共有_个(答:7)2.遇到时,你是否注意到“极端”情况:或;同样当时,你是否忘记的情形?要注意到是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如集合,且,则实数_.(答:)3.对于含有个元素的有限集合,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 如满足集合M有_个。(答:7)4.集合的运算性质:; ; ; ;.如设全集,若,则A_,B_.(答:,)5. 研究集合问题,一定要理解集合的意义抓住集合的代表元素。如:函数的定义域;函数的值域;函数图象上的点集
3、,如(1)设集合,集合N,则_(答:);(2)设集合,则_(答:)6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函数在区间上至少存在一个实数,使,求实数的取值范围。(答:)7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真,要假全假”;“且命题”的真假特点是“一假即假,要真全真”;“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中:“且”为真是“或”为真的充分不必要条件;“且”为假是“或”为真的充分不必要条件;“或”为真是“非”为假的必要不充分条件;“非”为真是“且”为假的必要不
4、充分条件。其中正确的是_(答:)8.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”,则逆命题为“若q则p”;否命题为“若p 则q” ;逆否命题为“若q 则p”。提醒:(1)互为逆否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价;(2)在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”;(3)要注意区别“否命题”与“命题的否定”:否命题要对命题的条件和结论都否定,而命题的否定仅对命题的结论否定;(4)对于条件或结论是不等关系或否定式的命题,一般利用等价关系“”判断其真假,这也是反证法的理论依据。(5)哪些命题宜用反
5、证法?如(1)“在ABC中,若C=900,则A、B都是锐角”的否命题为(答:在中,若,则不都是锐角);(2)已知函数,证明方程没有负数根。9.充要条件。关键是分清条件和结论(划主谓宾),由条件可推出结论,条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件,则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释,若,则A是B的充分条件;若,则A是B的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件。如(1)给出下列命题:实数是直线与平行的充要条件;若是成立的充要条件;已知,“若,则或”的逆否命题是“若或则”;“若和都是偶数,则是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_(答:);(2)设命题p:;命题q:。若p是q的必
6、要而不充分的条件,则实数a的取值范围是 (答:)10. 一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式,若,则;若,则;若,则当时,;当时,。如已知关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为_(答:)11. 一元二次不等式的解集(联系图象)。尤其当和时的解集你会正确表示吗?设,是方程的两实根,且,则其解集如下表:或或RRR如解关于的不等式:。(答:当时,;当时,或;当时,;当时,;当时,)12. 对于方程有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数是否为0,其次若,则一定有。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时,你是否注意到同样的情形?如:(1)对一切恒成
7、立,则的取值范围是_(答:);(2)关于的方程有解的条件是什么?(答:,其中为的值域),特别地,若在内有两个不等的实根满足等式,则实数的范围是_.(答:)13.一元二次方程根的分布理论。方程在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么?(、)。根的分布理论成立的前提是开区间,若在闭区间讨论方程有实数解的情况,可先利用在开区间上实根分布的情况,得出结果,再令和检查端点的情况如实系数方程的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,则的取值范围是_(答:(,1)14. 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗?二次方程的两个根即为二次不等式的解集的端点值,也是二次函数的图象与轴
8、的交点的横坐标。如(1)不等式的解集是,则=_(答:);(2)若关于的不等式的解集为,其中,则关于的不等式的解集为_(答:);(3)不等式对恒成立,则实数的取值范围是_(答:)。2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结(二)函数1.映射: AB的概念。在理解映射概念时要注意:A中元素必须都有象且唯一;B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。如(1)设是集合到的映射,下列说法正确的是A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合(答:A);(2)点在映射的作用下的象是,则在作用下点的原象为点_(答:(2,1);(3)若
9、,则到的映射有 个,到的映射有 个,到的函数有 个(答:81,64,81);(4)设集合,映射满足条件“对任意的,是奇数”,这样的映射有_个(答:12);(5)设是集合A到集合B的映射,若B=1,2,则一定是_(答:或1).2.函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集!据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。如(1)已知函数,那么集合中所含元素的个数有 个(答: 0或1);(2)若函数的定义域、值域都是闭区间,则 (答:2)3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此
10、当两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“天一函数”,那么解析式为,值域为4,1的“天一函数”共有_个(答:9)4. 求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则):(1)根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零,分母不能为零,对数中且,三角形中, 最大角,最小角等。如(1)函数的定义域是_(答:);(2)若函数的定义域为R,则_(答:);(3)函数的定义域是,则函数的定义域是_(答:);(4)设函数,若的定义域是R,求实数的取值范围;若的值域是R,求实数的取值范围(答:;)(2)根据实际问题的
11、要求确定自变量的范围。(3)复合函数的定义域:若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可;若已知的定义域为,求的定义域,相当于当时,求的值域(即的定义域)。如(1)若函数的定义域为,则的定义域为_(答:);(2)若函数的定义域为,则函数的定义域为_(答:1,5)5.求函数值域(最值)的方法:(1)配方法二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间上的最值;二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系),如(1)求函数的值域(答:4,8);(2)当时,函数在时取得最大值,则的
12、取值范围是_(答:);(3)已知的图象过点(2,1),则的值域为_(答:2, 5)(2)换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,如(1)的值域为_(答:);(2)的值域为_(答:)(令,。运用换元法时,要特别要注意新元的范围);(3)的值域为_(答:);(4)的值域为_(答:);(3)函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性,如求函数,的值域(答: 、(0,1)、);(4)单调性法利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,如求,的值域为_
13、(答:、);(5)数形结合法函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率、等等,如(1)已知点在圆上,求及的取值范围(答:、);(2)求函数的值域(答:);(3)求函数及的值域(答:、)注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定点在轴的两侧,而求两点距离之差时,则要使两定点在轴的同侧。(6)判别式法对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用均值不等式:型,可直接用不等式性质,如求的值域(答:)型,先化简,再用均值不等式,如(1)求的值域(答:);(2)求函数的值域(答:) 型,通常用
14、判别式法;如已知函数的定义域为R,值域为0,2,求常数的值(答:)型,可用判别式法或均值不等式法,如求的值域(答:)(7)不等式法利用基本不等式求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设成等差数列,成等比数列,则的取值范围是_.(答:)。(8)导数法一般适用于高次多项式函数,如求函数,的最小值。(答:48)提醒:(1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗?(2)函数的最值与值域之间有何关系?6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数,它是一类较特殊
15、的函数。在求分段函数的值时,一定首先要判断属于定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如(1)设函数,则使得的自变量的取值范围是_(答:);(2)已知,则不等式的解集是_(答:)7.求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:一般式:;顶点式:;零点式:,要会根据已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式)。如已知为二次函数,且 ,且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。(答:)(2)代换(配凑)法已知形如的表达式,求的表达式。如(1)已知求的解析式(答:);(2)若
16、,则函数=_(答:);(3)若函数是定义在R上的奇函数,且当时,那么当时,=_(答:). 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性,即的定义域应是的值域。(3)方程的思想已知条件是含有及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行赋值,从而得到关于及另外一个函数的方程组。如(1)已知,求的解析式(答:);(2)已知是奇函数,是偶函数,且+= ,则= _(答:)。8. 反函数:(1)存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个值,都有唯一的值与之对应,故单调函数一定存在反函数,但反之不成立;偶函数只有有反函数;周期函数一定不存在反函数。如函数在区间1, 2上存在反函数的充要条件是A、B、
17、C、D、(答:D)(2)求反函数的步骤:反求;互换 、;注明反函数的定义域(原来函数的值域)。注意函数的反函数不是,而是。如设.求的反函数(答:) (3)反函数的性质:反函数的定义域是原来函数的值域,反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数满足条件= x ,其中 0 ,若的反函数的定义域为 ,则的定义域是_(答:4,7).函数的图象与其反函数的图象关于直线对称,注意函数的图象与的图象相同。如(1)已知函数的图象过点(1,1),那么的反函数的图象一定经过点_(答:(1,3);(2)已知函数,若函数与的图象关于直线对称,求的值(答:); 。如(1)已知函数,则方程的解_(答:1);(2)设函
18、数f(x)的图象关于点(1,2)对称,且存在反函数,f (4)0,则 (答:2)互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知是上的增函数,点在它的图象上,是它的反函数,那么不等式的解集为_(答:(2,8);设的定义域为A,值域为B,则有,但。9.函数的奇偶性。(1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数,为奇函数,其中,则的值是 (答:0);(2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性):定义法:如判断函数的奇偶性_(答:奇函数)。利用函数奇偶性定义的等价形
19、式:或()。如判断的奇偶性_.(答:偶函数)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于轴对称。(3)函数奇偶性的性质:奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数.若为偶函数,则.如若定义在R上的偶函数在上是减函数,且=2,则不等式的解集为_.(答:)若奇函数定义域中含有0,则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数,则实数_(答:1).定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”。如设是定义域为R的任一函数
20、, ,。判断与的奇偶性; 若将函数,表示成一个奇函数和一个偶函数之和,则_(答:为偶函数,为奇函数;)复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.既奇又偶函数有无穷多个(,定义域是关于原点对称的任意一个数集).10.函数的单调性。(1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法:在解答题中常用:定义法(取值作差变形定号)、导数法(在区间内,若总有,则为增函数;反之,若在区间内为增函数,则,请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数,则的取值范围是_(答:));在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为,减区间为.如(1)若函数 在区
21、间(,4 上是减函数,那么实数的取值范围是_(答:));(2)已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围_(答:);(3)若函数的值域为R,则实数的取值范围是_(答:且));复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减,如函数的单调递增区间是_(答:(1,2))。(2)特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,如若函数在区间上为减函数,求的取值范围(答:);二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”;三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示 (3)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(比较大小;解不等式;求参数范围).如已知奇函数是定义在上的减函数,若,求实数的取值范围。(答:
22、)11. 常见的图象变换函数的图象是把函数的图象沿轴向左平移个单位得到的。如设的图像与的图像关于直线对称,的图像由的图像向右平移1个单位得到,则为_(答: )函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的。如(1)若,则函数的最小值为_(答:2);(2)要得到的图像,只需作关于_轴对称的图像,再向_平移3个单位而得到(答:;右);(3)函数的图象与轴的交点个数有_个(答:2)函数+的图象是把函数助图象沿轴向上平移个单位得到的;函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的;如将函数的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么 (答:C)函数的图象是
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