[一年级数学]大一高数上 PPT课件 第四章.ppt
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1、第 四 章 不 定 积 分,4.1 不定积分的概念和性质,前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 技术领域中,还会遇到与此相反的问题:即寻求一个可导函数,使其导数等于一个已知函数。从而产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。,本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质,最后着重系统地介绍积分方法。,定义1 如果在区间I上,可导函数F(x)的导函数为 f(x),即对任一x I,都有 F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数,例如,sin x 是cos x 的原函数 又如当x (1,)时,,
2、在区间(1,)内的原函数,一、原函数与不定积分的概念,对原函数的研究须讨论解决以下两个问题,(1) 是否任何一个函数都存在原函数?,考察如下的例子,若存在可导函数,关于原函数的说明:,(左、右极限存在且相等),而已知,矛盾,既然不是每一个函数都有原函数,那么我们自然 要问:具备什么条件的函数才有原函数?对此我们 给出如下的结论:,原函数存在定理:,如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数 F(x),使对任一 x I 都有 F (x)f(x),说明: 如果F(x)是f(x)的原函数,那么F(x)C 也是f(x)的原函数,其中C是任意常数,如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数
3、,则 (x)F(x)C (C为某个常数),简言之:连续函数一定有原函数.,(2)原函数是否唯一?若不唯一,它们之间有 什么联系?,不定积分的定义:,定义2 在区间I上,函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分,记作,根据定义,如果F(x)是f(x)的一个原函数,那么F(x)C就是 f(x)的不定积分.,ln|x|C ,例3 求积分,解,例4 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点(1,2),所求曲线方程为,微分与积分的关系: 从不定积分的定义可知:,又由于
4、F(x)是F (x)的原函数,所以,积分曲线: f(x)的原函数的图形称为f(x) 的积分曲线,3x2的积分曲线:,y=x3+C,C=0,C=-1.5,C=1,C=2,结论:,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,二、基本积分表,k x C (k是常数),,arctan x C ,,arcsin x C ,,ln |x|C ,,sin x C ,,cos x C ,,注意,检验积分结果是否正确,只要把结果求导,看 其导数是否等于被积函数,三、不定积分的性质,性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和,即,性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提 到积分号外面来,即,e x
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