[其它]不定积分.ppt
《[其它]不定积分.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《[其它]不定积分.ppt(39页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第5章 不定积分,5.1 原函数与不定积分的概念 一、原函数与不定积分 通过对求导和微分的学习,我们可以从一个函数 yf(x)出发,去求它的导数f(x) 那么,我们能不能从一个函数的导数f(x)出发, 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? 定义 已知f(x)是定义在某区间上的一个函数,如果存在函数F(x),使得在该区间上的任何一点x处都有F(x)f(x),那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。,例1 求下列函数的一个原函数: f(x)2x f(x)cosx 解:(x2)2x x2是函数2x的一个原函数 (sinx)cosx sinx是函数cosx的一个原函数 这里为什
2、么要强调是一个原函数呢?因为一个函数 的原函数不是唯一的。 例如在上面的中,还有(x21)2x, (x21)2x 所以 x2、x21、x21、x2C (C为任意常数) 都是函数f(x)2x的原函数。,定理5.1 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数, C是一个任意常数,那么, F(x)C也是f(x) 在该区间I上的原函数 f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示 为F(x)C 证明: F(X)CF(x)(C)f(x) F(x)C也是f(x)的原函数 略,这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x),那么它 就有无穷多个原函数,它们都可以表示为F(x)C的 形式。 定义5.2 函数f(x
3、)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分, 记作f(x)dx, 其中叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积 分变量。 求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数, 因此,f(x)dxF(x)C 其中C是任意常数,叫做积分常数。,例2 求下列不定积分 x5dx sinxdx 解: 是x5的一个原函数 cosx是sinx的一个原函数 ,二、 不定积分的几何意义 设F(x)是函数f(x)的一个原函数,则曲线yF(x) 称为f(x)的一条积分曲线,曲线yF(x)C表示把曲 线yF(x)上下平移所得到的曲线族。因此,不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率
4、为2x且经过点(1,0)的曲线。 解:设所求曲线为yf(x),则f(x)2x, 故yx2C, 曲线过点(1,0)以x1、y0代入得012C, 解得C1, 因此,所求曲线为yx21。,三、 基本积分公式 由于积分运算是求导运算的逆运算,所以由基本 求导公式反推,可得基本积分公式 dxxC xdx (-1) exdxexC sinxdxcosxC cosxdxsinxC sec2xdxtanxC csc2xdxcotxC ,说明:冪函数的积分结果可以这样求,先将被积函数 的指数加1,再把指数的倒数放在前面做系数。 注意 不能认为 arcsinxarccosx,他们之间 的关系是 arcsinx2a
5、rccosx,四、 不定积分的性质 f(x)dxf(x) 该性质表明,如果函数f(x)先求不定积分再求导, 所得结果仍为f(x) F(x)dxF(x)C 该性质表明,如果函数F(x)先求导再求不定积分, 所得结果与F(x)相差一个常数C kf(x)dxkf(x)dx (k为常数) 该性质表明,被积函数中不为零的常数因子可以 提到积分号的前面 f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx 该性质表明,两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差,五、 基本积分公式的应用 例7 求(9x28x)dx 解:(9x28x)dx9x2dx8xdx 33x2dx42xdx3x34x2C 例
6、11 求3xexdx,5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法 对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积分公式即可求出不定 积分的方法称为直接积分法。 运用直接积分法可以求出一些简单函数的 不定积分。,一、第一换元法(凑微分法) 如果被积函数的自变量与积分变量不相同, 就不能用直接积分法。 例如求cos2xdx,被积函数的自变量是2x, 积分变量是x。 这时,我们可以设被积函数的自变量为u, 如果能从被积式中分离出一个因子u(x)来, 那么根据f(u)u(x)dxf(u)duF(u)C 就可以求出不定积分。 这种积分方法叫做凑微分法。,讲解例题 例2 求2sin2xdx 解
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 其它 不定积分
![提示](https://www.31doc.com/images/bang_tan.gif)
链接地址:https://www.31doc.com/p-2001701.html