2011年考研数学考前必备重点题型级数.ppt
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1、1,2.9 气体分子的平均自由程,第 2 章 气体动理论 (Kinetic theory of gases),2.1 理想气体的压强,2.2 温度的微观意义,2.3 能量均分定理 理想气体的内能,2.4 麦克斯韦分子速率分布定律,* 2.6 玻尔兹曼分布律 重力场中粒子按高度的分布,2.5 麦克斯韦速率分布律的实验验证,2.7 实际气体等温线,* 2.8 范德瓦尔斯方程,2,2.1 理想气体的压强Pressure of ideal gas,一、状态参量(quantity of state),在一定条件下,当物体的状态保持不变,为描述物体的特性而采用的物理量。如体积、温度、压强、浓度等 。对于一
2、定质量的气体,除它的质量M和摩尔质量Mmol,它的状态一般可用下列三参量来表示:,1. 气体所占的体积V:,气体分子活动所能达到的空间范围。,气体动理论是在物质结构的分子学说的基础上,为说明人们所熟知的气体物理性质和气态现象而发展起来的。,第 2 章 气体动理论 (Kinetic theory of gases),3,2. 气体的压强P:,压强是气体作用在容器壁单位面积上的指向器壁的平均正压力,是气体分子对器壁碰撞的宏观表现。,3. 气体的温度T:,从宏观上来讲,温度表示物体的冷热程度;从微观上讲,温度反映物质内部分子运动的剧烈程度。,4,由实验可知,热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现
3、,人们把大量分子的无规则运动叫做分子热运动,即所谓的布朗运动。,分子热运动的基本特征,分子热运动的基本特征是分子的永恒运动和频繁相互碰撞。,二*、分子布朗运动,5,三、关于每个分子的力学性质的假设理想气体的微观模型,(1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计。,(4)气体分子的运动服从经典力学规律。,(2)因为气体分子间的平均距离相当大,所以除碰撞的瞬间外,分子间相互作用力可以忽略不计。,总之,气体被看作是自由地 无规则运动着的弹性球分子的集合。,(3)分子之间的碰撞以及分子与器壁的碰撞都是弹性的,即在碰撞前后气体分子的动量守恒,动能守恒。,6,四、关于分子集体的统计性假设统计
4、规律Statistical law,尽管个别分子的运动是杂乱无章的,但就大量分子的集体来看,却又存在着一定的统计规律。,(2) 分子沿各个方向运动的机会是均等的,没有任何一个方向上气体分子的运动比其它方向更占优势。即沿着各个方向运动的平均分子数应该相等。,(3) 分子速度在各个方向的分量的各种平均值相等。,(1) 在热力学平衡状态下,气体分子的空间密度是均匀的。,7,五、气体动理论的统计方法(statistical metheds),用对大量分子的平均性质的了解代替个别分子的真实性质。对个别分子(或原子)运用牛顿定律求出其微观量,如质量、速度、能量等,再用统计的方法,求出大量分子关于微观量的统
5、计平均值,并用来解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质,如温度、压强、热容等。,六、理想气体的压强公式的推导(方法1:容器是长方体形),(3) 应用统计假设,求器壁所受的平均正压力。,压强公式推导步骤如下:,思路:,(1)用牛顿定律先求一个分子对器壁的压力;,(2)全体分子作用于器壁的压力;,设一定量气体总分子数为N,每个分子质量为m。,8,(1)设边长分别为l1、l2、l3 的长方形容器中,有N个同类气体分子,每个分子的质量均为m。以容器的某一顶点为原点,沿容器边长为方向建立直角坐标系。,(2)选任意一个分子a作为研究对象,求其对A1面的压力,分子“a” 的速度:,分子“ a”碰撞器壁A1面
6、一次所受的冲量:,由牛顿第三定律可知,器壁A1面受分子碰撞一次所受的冲量:,a,A1,9,分子“ a”相继碰撞器壁A1面两次所用的时间为:,单位时间内,分子“ a”与器壁A1面碰撞的次数为:,单位时间内,分子“ a”对器壁A1面的冲量即冲力为:,任意分子对器壁A1面的冲力为:,(3)器壁A1面受N个分子的冲力,10,器壁A1面单位面积受N个分子的冲力:,n是单位体积内的分子数或称分子数密度,由分子统计假设:,分子平均平动动能:,理想气体的压强公式:,11,六*、理想气体的压强公式的推导(方法2:容器是任意形状),把所有分子按速度区间分为若干组,在每一组内的分子速度大小方向都差不多相同。,设第
7、i组分子的速度区间为:,以 ni 表示第 i 组分子的分子数密度,总的分子数密度为:,设器壁上面积元dA 法向为 x 轴,一定质量的处于平衡态的某种理想气体,被封闭在体积为V的任意形状的容器中。,任意一 个分子速度:,12,该分子碰撞器壁一次所受的冲量:,在 dt 时间内与dA碰撞的分子数,ni vix dt dA,总冲量为:,所有分子在 dt 时间内对 dA 的总冲量为:,气体对器壁的宏观压强为:,13,由分子统计假设,分子平均平动动能:,理想气体的压强公式:,14,2.2温度的微观意义 Temperature equation of ideal gas,根据理想气体的压强公式和状态方程,可
8、以导出气体的温度与分子的平均平动动能之间的关系,从而揭示宏观量温度的微观本质。,1.温度的本质和统计意义:,15,(2)当两种气体有相同的温度时,意味着两种气体分子的平均平动动能相等。,气体的温度是气体分子平均平动动能的量度;,kRNA1.3810-23 J/K 称玻耳兹曼常量,温度的意义:,注意:,(1)温度是大量气体分子热运动的集体表现,具有统计的意义,对于个别分子并无意义。,16,2.气体分子的方均根速率:(root-mean-square speed),由上式可见,在相同温度时,虽然各种分子的平均平动动能相等,但它们的方均根速率并不相等。,注意:,17,1.一定质量的气体,当温度不变时
9、,压强随体积减小而增大;当体积不变时, 压强随 温度升高而增大,从宏观上说,这两种变化都使压强增大;从微观上说,它们是否有区别?,2.两种不同种类的理想气体,压强相同,温度相同,体积不同, 试问单位体积内的分子数是否相同?,3.两瓶不同种类的气体,分子平均平动动能相同,但气体的分子数密度不同,试问他们的压强是否相同?,4.两瓶不同种类的气体,体积不同,但温度和压强相同,问气体分子的平均平动动能是否相同?单位体积中的分子的总平动动能是否相同?,问题:,(答案:前者是由于分子碰撞次数增加导致,后者是由于运动加剧导致),(答案:相同),(答案:不同),(答案:相同,相同),18,2.3 能量均分定理
10、 理想气体的内能 Equipartition theorem of energy Internal energy of ideal gas,一、分子的自由度 i :,1.自由度定义degree of freedom,确定一个物体位置所需要的独立坐标个数称该物体的自由度。,在空间自由运动的质点,它的位置用三个独立坐标(x,y,z)确定。,(1)质点的自由度,如火车运动(一维),自由度为一个;,19,P(x,y,z),(2)刚体的自由度:,刚体位置的确定共需要六个自由度。,确定刚体上某一点位置:,确定刚体转轴的方位:,确定刚体绕转轴转过的角度,需要一个自由度();,需要二个自由度(,);,需要三个
11、自由度(x,y,z);,飞机运动(三维),自由度为三个;,轮船运动(二维),自由度为二个;,20,(3)气体分子模型自由度,单原子分子模型:,质心需要三个平动自由度;两原子连线方位需要二个转动自由度,一共五个自由度;,刚性双原子分子模型:,如氦原子,如氧气分子,i=t+r=3+2=5,需要三个平动自由度 i=t=3;,刚性三原子以上分子模型:,i=t+r=3+3=6,小结:n个原子组成的分子最多是3n 个自由度。常温下振动自由度可以不考虑。,O2,21,上式表明,气体分子沿x、y、z三个方向运动的平均平动动能完全相等;即可以认为,分子的平均平动能 是平均地分配在每一个平动自由度上的。因为分子
12、平动有3个自由度,所以相应于每一个平动自由度的能量是,二、能量均分定理Equipartition theorem of energy,1. 理想气体分子的平均平动动能:,按理想气体的统计假设:,2. 意义,22,3. 推广:,在平衡态下,气体分子的每一个自由度都 具有相同的平均动能 。如果气体分子有i 个自由度,则每个分子的总平均动能就是,问题:,单原子分子,刚性双原子分子,刚性三原子以上分子的平均动能各是多少?,注意:,能量均分原理是个统计规律,仅对大量分子平均而言,对个别分子并不适用。,23,三、理想气体的内能,1. 气体的内能包括哪些?,气体的内能=气体分子的总能量 + 分子间相互作用势
13、能,2. 理想气体的内能包括哪些?,理想气体的内能=所有气体分子各种运动能量的总和,问题:,3. 内能与机械能有什么区别?,机械能可以为零,而内能永不为零。,一摩尔理想气体的内能,M千克理想气体的内能,24,1.三个容器内分别储有1mol氦气(He),1mol氢气(H2),1mol氨气(NH3)( 三种气体均 视为刚性分子的理想气体),若它们的温度都升高 1K , 则三种气体内能的增加分别是多少?,问题:,1摩尔气体的内能( )。,分子的平均平动动能( );,分子的平均总动能( );,分子的平均总能量( );,1摩尔气体分子的总转动动能( );,2.写出下列各量的表达式: 某种刚性双原子分子的
14、理想气体处于温度为T的平衡态下:,(答案:12.5J,20.8J,24.9J),25,(答案: 1:8; 1:1; 5:24),3.有一个处于恒温条件下的容器,其内贮有1mol某种理想气体, 若容器发生缓慢漏气,试问容器内气体分子的平均平动动能是否改变?气体的内能是否改变?,(答案: 不变,变),4.两个容器中分别贮有理想气体氦和氧,已知氦气的压强是氧气的1/2,氦气的容积是氧气的2倍。试问氦气的内能是氧气内能的多少倍?,(答案:3 /5倍),5.质量相等的的理想气体氧和氦,分别装 在两个容积相等的容器内,在温度相同的情况下,氧和氦的压强之比为 ;氧分子和氦分子的平均平动动能之比为 ;氧和氦内
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