大学高等数学经典课件8-6.ppt
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1、第六节 多元函数微分学的几何应用,一. 空间曲线的切线与法平面,设空间曲线L的参数方程为 x=x(t), y=y(t), z=z(t) (1) 并设x(t),y(t),z(t)都可导,且导数不同时 为0.和平面曲线一样,通过空间曲线上 任一点M0(x0,y0,z0)(对应于参数t=t0)的 切线,定义为割线M0 M,当M趋向M0时的极限位置M0T.,设M0的邻近点M(x0+x,y0+y,z0+z)所对应的参数为 t=t0+t.设p(x,y,z)是曲线的割线M0M上的一点.曲线的割线 M0M的方程为xi+yj+zk, MP=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k,因 为M0MM0p,所以
2、有,切线的一个方向向量为T=x(t0), y(t0), z(t0),通过点M而与切线垂直的平面称为曲线L在点M处的法平面, 它通过点M而以T为法向量的平面,这法平面的方程为,例1 求曲线 x=2t,y=3t2,z=t3.在点M(2,3,1)处的切线方程和 法平面方程.,例2 求曲线 xyz=1,y2=x 在点(1,1,1)处的切线及法平面方程 分析:我们把曲线方程写成参数方程,(1)现在我们讨论空间曲线C的方程以y=(x), z=(x)的形式 出现,取x为参数,它可表示为参数方程的形式: x=x, y=(x), z=(x).,若(x), (x)都在x=x0处可导,那么由上述讨论可知, T=(1
3、, (x0 ),(x0 ),因此曲线C在点M(x0,y0,z0)处的切线方 程为,在点M(x0,y0,z0)处的法平面方程为,(2)如果曲线用两个空间曲面相交的交线形式出现时,可根 据隐函数求导的方法处理.,设空间曲线C的方程以,(7) 的形式给出,M(x0,y0,z0)是曲线C上的一点,又设F,G有对各个变量的连续偏导 数,且,这时方程组(7)在点M(x0,y0,z0)的某邻域内,确定一组函数y=(x),z=(x),要求曲线C在点M处的切线方程 和法平面方程,只要求出(x0 ), (x0 ),然后代入(5),(6)两式就 可以了为此,我们在恒等式,两边分别对x求全导数,得到,由假设可知,在点
4、M的某个邻域内,故可解得,于是T=(1, (x0 ),(x0 ) 是曲线C在点M(x0,y0,z0)处的切向量.,分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点M(x0,y0,z0)的,值,把上面的切向量T乘以,得,这也是曲线C在点M处的一个切向量,所以在点M(x0,y0,z0)的 切线方程为,曲线C在点M(x0,y0,z0)的法平面方程为,例3 求球面,与椭球面,交线上对应于x=1点处的切线方程和法平面方程.,分析:先求出x=1,点为 (1,1/2,1) (1,1/2,-1),曲线的向量方程及向量值函数的导数 曲线C的参数方程(1)x=x(t), y=y(t), z=z(t)也可写成向量的形 式.
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