波函数及其在解高考题目中的应用.doc
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1、波函数及其在解高考题中的应用一、什么是波函数?波函数的定义:为了定量地描述介质中波动的情况,必修求得介质中各质元的位移与该质元所处的平衡位置及时间的定量关系,这种定量关系就是波的表达式,也叫做波函数(wave function)。二、简谐波函数的推导设有一波前为平面的简谐波,在均匀介质中沿轴正方向传播,波速为。由于这是一种平面波,所以在与轴垂直的平面上,各点的振动情况是一样的。所以只要讨论轴上各点的振动,就可以知道空间中各点的情况。以O点为波源,设该处质元做简谐振动,其位移与时间的关系为式中A为振幅,为角频率。考察波线O上的任一点P,它离O点的距离为,当波源O的振动传到P点时,P点的质元将重复
2、O点的质元的振动,角频率也相同,但振动的相位要落后于O点。因为O点的振动传到P点需要时间,所以P处质元在时刻的振动相位和O点质元在时刻的振动相位一样,即其相位为:因为平面简谐波传播时各质元的振幅相等,P处质元在时刻的位移为:,这就是平面简谐波的波函数。因为, 所以波函数也可以写为 当取某一确定值时,波函数便是某质点的振动方程,例如,便是振源O的振动方程。据此可以画出该质点的振动图象。当取某一确定值时,波函数便是某时刻的波动方程,例如,便是时刻的波动函数方程。据此可以画出该时刻的波的图象。三、波函数的应用:解高考“波的传播”题波的传播问题,历来是高考的热点。不论原大纲高考,还是新课标高考,波的图
3、象问题,都占有一席之地。2010年高考的波的图象问题,又有新动向。如2010年高考上海物理卷第20题,是一道关于波的图象的难题,难在哪?难在两点间的距离不是的整数倍,还难在波的传播时间不是的整数倍,而以往的高考题往往都是的整数倍。笔者经认真研究,给出本题的不同于一般的解法:用波函数解,当然,也就给出了此类题的此种解法。因为2010年高考其它省市的理综或物理试卷中,关于机械振动和机械波的题目,也有此类情况,这,就是高考题的发展与变化的规律。例1(2010年高考上海卷第20题)如图1,一列沿轴正方向传播的简谐横波,振幅为,波速为,在波的传播方向上两质点的平衡位置相距(小于一个波长),当质点在波峰位
4、置时,质点在轴下方与轴相距的位置,则图1A此波的周期可能为B此波的周期可能为C从此时刻起经过,点可能在波谷位置 D从此时刻起经过,点可能在波峰位置解法1图象法:形象思维解题法对AB选项,根据题意,有两种情况:第1种情况:波的图象如图2,从图象得,根据,所以波长,周期,A正确。图2第2种情况:波的图象如图3,从图象得,根据,所以,波长,周期。图3因为只有以上两种情况,所以B错误。对CD选项,根据以上两种情况,也有两种有两种对应的情况:第1种情况,波长是的波,在波的图象如图4,从图象知,b在波谷,所以C正确。图4第2种情况,波长是的波,波的图象如图5,从图象知,的在波峰,所以D正确。图5综上各图,
5、所以本题选ACD。解法2波函数解法:抽象思维解题法波函数,在求出波长和周期后,第1种情况,振幅,周期,波长,所以具体波函数是,将和代入波函数得:,是波谷;所以C正确。第2种情况,振幅,周期,波长,所以具体波函数是,将和代入波函数得:,是波峰;所以D正确。所以本题选ACD。a例2(2008年高考上海卷第22题)22(12分)有两列简谐横波a、b在同一媒质中沿x轴正方向传播,波速均为v25m/s。在t0时,两列波的波峰正好在x25m处重合,如图所示。(1)求两列波的周期Ta和Tb。(2)求t0时,两列波的波峰重合处的所有位置。(3)辨析题:分析并判断在t0时是否存在两列波的波谷重合处。某同学分析如
6、下:既然两列波的波峰存在重合处,那么波谷与波谷重合处也一定存在。只要找到这两列波半波长的最小公倍数,即可得到波谷与波谷重合处的所有位置。你认为该同学的分析正确吗?若正确,求出这些点的位置。若不正确,指出错误处并通过计算说明理由。分析:本题考查机械波的图象和用数学方法解决物理问题。(1)从图象可以直接读出波长,然后根据波速公式求周期。(2)根据两列波的波峰重合处的已知的一个位置,求两列波的波长的最小公倍数,可求两列波的波峰重合处的所有位置,因为每经过一个波长就是一个波峰。原解答:(1)从图中可以看出两列波的波长分别为a25m,b25+15=40m,因此它们的周期分别为s1s s16s(2)两列波
7、的波长的最小公倍数为 S20m在t0时,两列波的波峰重合处的所有位置为x(2520k)m,k0,1,2,3,(3)该同学的分析不正确。要找两列波的波谷与波谷重合处,必须从波峰重合处出发,找到这两列波半波长的奇数倍恰好相等的位置。设距离x25m为L处两列波的波谷与波谷相遇,并设L(2m1) L(2n1),式中m、n均为正整数只要找到相应的m、n即可将a25m,b40m代入并整理,得由于上式中m、n在整数范围内无解,所以不存在波谷与波谷重合处。本人原创解法:波函数解法(1)从图中可以看出两列波的波长分别为a25m,b25+15=40m,因此它们的周期分别为s1s s16s(2)从图中可以求出在t0
8、时两列波的波函数分别为:,两列波的波峰所有位置分别为:,(m=0,1,2,3),(n=0,1,2,3,)两列波的波峰重合处的所有位置为,即=,当(k=0,1,2,3)时,m为整数,所以当(k=0,1,2,3)时两列波的波峰重合(包括第1此重合处,即k=0,x=25m处)。(3) 两列波的波谷所有位置分别为:,(m=0,1,2,3),(n=0,1,2,3,)两列波的波谷重合处的位置应该为,即+125=,当n=0,1,2,3,4,5时,m=,即m无论取什么值,n都不能为整数,所以两列波的波谷重合处是没有的。该同学的做法是:假设存在一个两列波的波谷与波谷重合处,寻找另外的重合处,可用该同学的方法,该
9、同学错误之处在于假设不成立,因为没有一个两列波的波谷与波谷重合处。此题在解题方法上给我们深刻的启示:从此题可以看出,解题方法不能生搬硬套。本题中,已知一个两列波的波峰与波峰重合处,求其它重合处,可用求波长的最小公倍数的方法。而该同学生搬硬套,还用求这两列波半波长的最小公倍数的方法,虽然他注意了把波长的最小公倍数改为半波长的最小公倍数,仍然是错误的,因为第1个波谷与波谷重合处的假设不成立。例3(2009年高考福建理综物理第17题)图甲为一列简谐横波在t=010s时的波形图,P是平衡位置为x=1m处的质点,Q是平衡位置为x=4m处的质点,图乙为质点Q的振动图像,则( )At=015s时,质点Q的加
10、速度达到正向最大Bt=015s时,质点P的运动方向沿y轴负方向C从t=010s到t=025s,该波沿x轴正方向传播了6mD从t=010s到t=025s,质点P通过的路程为30cm答案:AB分析:题考查振动图像和波动图像的综合应用。由图乙可知t=015s时,质点Q到达波谷,其加速度达到正向最大,A选项正确;图甲表示010s时的波形图,t=010s时由图乙可知质点Q正经过平衡位置向下振动,结合图甲可知这列波向左传播(因为波向左传播,Q才处在“上坡”的位置,其运动方向才向下)。又由图甲可知波长为8m,由图乙可知周期为020s,波速v=/T=40m/s,从010s到015s时间段内,波向左平移s=vt
11、=2m。画出此时的波形如下图(将波向左平移2m)从图可以发现,此时质点P的运动方向沿y轴负方向,B选项正确;从t=010s到t=025s,该波沿x轴负方向传播的距离s=vt=6m,C选项方向判断错误;从t=010s到t=025s,经过的时间为015s,等于即005s的3倍,质点P做变速运动,通过的路程不能用来计算(从平衡位置或正负最大位移处开始计时,才能这样算),实际路程不等于30cm(此处有的同学禁不住问:不是30cm,是多少呢?且往下看)。答案选择AB。【进一步研究】此题可用波函数定量地解。什么是波函数?波函数的定义:为了定量地描述介质中波动的情况,必须求得介质中各质元的位移与该质元所处的
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- 函数 及其 高考 题目 中的 应用
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