2.4离散傅里叶变换.ppt
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1、2.4离散傅里叶变换,2.4.1 数字信号、模/数(A/D)转换和数/模(D/A)转换,若信号幅值和独立变量均离散,并且用二进制数来表示信号的幅值,则该信号为数字信号。 在工程测试中,数字信号一般来自于模拟信号,因此需要将模拟信号转换为数字信号,然后进行必要的数据处理,处理后的数字信号常需要还原成模拟信号。 模拟信号到数字信号、数字信号到模拟信号的转换分别称为信号的模/数(A/D)转换和数/模(D/A)转换其中A:Analog ;D:Digital,采样:将模拟信号变为离散时间信号,在各离散时刻上得到连续信号的样值。,2.4离散傅里叶变换,若 为采样器的输入,则输出为 为采样时间间隔,常称为采
2、样间隔或采样周期。,编码:将每一个量化值 用 b 位二进制序列表示,便于数据处理。,2.4离散傅里叶变换,图2.38分别绘出了模拟信号、离散时间信号和数字信号的例子,D/A转换是对数字信号进行某种内插方式的处理以连接逐个样值的端点,从而得到近似的模拟信号,近似的程度取决于所采用的内插方式。图2.39表示一种简单的内插方式,称为零阶保持或阶梯近似。,2.4离散傅里叶变换,2.4.2 离散傅里叶变换的图解表示,时域采样 模拟信号的采样有多种方法,以周期或均匀采样的方法应用最多,表示为 式中: 为采样后的离散时间信号或采样信号,是对模拟信号 每隔 秒采样得到,该过程如图2.40所示。,对模拟信号进行
3、离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT),一般可概括为三个步骤:时域采样、时域截断和频域采样。,然而,由于量化是非可逆的或单项的处理,会引起信号的失真,失真的大小取决于A/D转换器的精度。在实际中影响进度选择的因素是成本和采样速度,通常成本是随着精度和采样速度的提高而增加的。,2.4离散傅里叶变换,图2.40 模拟信号的周期采样,为采样周期, 称为采样速度(每隔采样次数)或采样频率(单位为Hz)。,采样过程可以看作用等间隔的单位脉冲序列去乘模拟信号。这样,各采样点上的信号大小就变成脉冲序列的权值,这些权值将被量化成相应的二进制编码。 在数学上,时域采样表
4、示为间隔为 的周期脉冲序列 乘模拟信号 即,由函数的筛选特性式(2-66)可知: 采样信号 在各采样时刻 的幅值 。信号的时域采样如图2.41所示。,2.4离散傅里叶变换,其中g(t)为采样函数。Ts称为采样间隔,或采样周期,1/Ts=fs称为采样频率。,在时域采样中,采样函数 的傅里叶变换如图2.41b所示。 由信号的频域卷积特性可知,模拟信号 乘以采样函数 后的采样函数 的傅里叶变换,等于 的频谱 和 的频谱 的 卷积,即 由函数与其它函数卷积的特性,采样信号 的频谱可表示为如图2.41c所示。,2.4离散傅里叶变换,时域截断 采样信号 理论上为时间无限长的离散序列,即 而实际上为了存储、
5、分析和处理的方便,只是取有限长度的采样序列,所以必须从采样信号的时间序列截取有限长的一段来处理,其余部分视为零而不予考虑。这相当于把采样信号 乘以一个矩形窗函数 ,如图2.43a所示。,2.4离散傅里叶变换,窗宽为T,所截取的时间序列点数为N=T/TS,N称为序列长度。,采样信号xs(nTs)被截取后的信号xsw(nTs)表示为,由信号的频域卷积特性可知xsw(nTs)的频谱为,窗函数wR(t)的幅频谱WR(jf)为,2.4离散傅里叶变换,图2.43 窗函数及其频谱,图2.44 时域采样截断后的信号及其频谱,频域采样 经过时域采样和截断处理,模拟信号x(t)变成了有限长的离散时间序列xsw(n
6、Ts), n=1,2,N。而从频域上看,xsw(nTs)的频谱Xsw(jf)仍为周期性连续频谱。但计算机或数字信号处理仪只能处理离散数据,因此,需要对Xsw(jf)进行频域采样。 频域采样在理论上是对周期性连续频谱Xsw(jf)乘以周期序列脉冲函数如图2.45b,2.4离散傅里叶变换,图2.45 频域采样函数及其时域函数,2.4离散傅里叶变换,由信号的卷积特征可知,与Xsw(jf)p相对应的时域信号xsw(t)p为,频域采样形成Xsw(jf)频域的离散化,相应的把时域信号周期化了,因而xsw(t)p是一个周期信号,如图2.46所示。,其时域表示为如图2.45a,Xsw(jf)频域采样后的实际输
7、出Xsw(jf)p为,图2.46 Xsw(jf)频域采样后的时域和频域表示,2.4离散傅里叶变换,上述图解表示过程解释了离散傅里叶变换的演变过程。从最后的结果可以看出,信号时域、频域的离散化导致了对时域和频域的周期化处理。DFT实际上是把一个有限长序列做周期序列的一个周期来处理。,从以上过程可以看出,原来希望获得模拟信号的频谱,但由于计算机的数据是序列长度为N的离散时间信号xsw(nTs), 计算机输出的是Xsw(jf)p,而不是X(jf),用Xsw(jf)p来近似X(jf)。处理过程中的每一个步骤采样、截断、DFT计算都会引起失真或误差。,2.4离散傅里叶变换,2.4.3 频率混叠和采样定理
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