第三章离散傅里叶变换DFT.ppt
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1、第三章 DFT 离散傅里叶变换,3-7 抽样Z变换-频域抽样理论,3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近,3-6 DFT的性质,3-5 DFT-有限长序列的离散频域表示,3-3 周期序列的DFS,3-4 DFS的性质,3-2 傅氏变换的几种可能形式,3-1 引言,点击进入,目 录, 3.1 引 言,在第2章中讨论了序列的傅里叶变换和Z变换。由于数字计算机只能计算有限长离散序列,因此有限长序列在数字信号处理中就显得很重要, 当然可以用Z变换和傅里叶变换来研究它, 但是,这两种变换无法直接利用计算机进行数值计算。针对序列“有限长”这一特点,可以导出一种更有用的变换:离散傅里叶变换(Discrete
2、 Fourier Transform, 简写为DFT)。它本身也是有限长序列。,作为有限长序列的一种傅里叶表示法,离散傅里叶变换除了在理论上相当重要之外,而且由于存在有效的快速算法快速离散傅里叶变换,因而在各种数字信号处理的算法中起着核心作用。 有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)和周期序列的离散傅里叶级数(DFS)本质上是一样的。为了讨论离散傅里叶级数与离散傅里叶变换,我们首先来回顾并讨论傅里叶变换的几种可能形式。,一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用,谱分析、 卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。,返回目
3、录,二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题: 一是离散与量化, 二是快速运算。,信号处理,DFT(FFT),傅氏变换,离散量化,连续时间、连续频率傅里叶变换,连续时间、离散频率傅里叶级数,离散时间、连续频率序列的傅里叶变换,离散时间、离散频率离散傅里叶变换,3-2傅里叶变换的几种可能形式,一、连续时间,连续频率傅里叶变换(FT),这是连续时间,非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续的、非周期的频谱密度函数X(j)。,二、连续时间,离散频率傅里叶级数(FS),这是连续时间,周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散的、非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t只
4、有一个频率分量。,X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔,K为谐波序号。,三、离散时间,连续频率序列的傅里叶变换(DTFT),由第一章采样定理的知识,我们知道:时域离散,将导致频域周期化,且这个周期是s。,四、离散时间,离散频率离散傅里叶变换(DFT),上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的,不适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的,才方便用计算机运算。,思路:从序列的傅里叶变换出发,若时域为离散的序列,则频 域是连续周期的;若此时我们对频域的连续信号抽样, 人为的使其离散化,这样,频域的离散又导致时域的周 期化。于是有:,四种傅里叶变换形式的归纳,各种形式的傅里叶变换, 3.
5、3 周期序列的离散傅里叶级数(DFS),设 是一个周期为N的周期序列, 即,r为任意整数,周期序列不是绝对可和的,所以不能用Z变换表示,因为在任何z值下,其Z变换都不收敛,也就是,但是,正如连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示一样, 周期序列也可以用离散傅里叶级数来表示,该级数相当于成谐波关系的复指数序列(正弦型序列)之和。也就是说,复指数序列的频率是周期序列 的基频(2/N)的整数倍。这些复指数序列ek(n)的形式为,(3-1),式中, k, r为整数。,由式(3-1)可见,复指数序列ek(n)对k呈现周期性,周期也为N。也就是说, 离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量,这是和连续傅里叶级
6、数的不同之处(后者有无穷多个谐波成分),因而对离散傅里叶级数,只能取k=0 到N-1的N个独立谐波分量, 不然就会产生二义性。因而 可展成如下的离散傅里叶级数,即,(3-2),式中,求和号前所乘的系数1/N是习惯上已经采用的常数, 是k次谐波的系数。,下面我们来求解系数 ,这要利用复正弦序列的正交特性,即,(3-3),将式(3-2)两端同乘以 ,然后从n=0 到N-1的一个周期内求和,则得到,把r换成k可得,(3-4),这就是求k=0 到N-1的N个谐波系数 的公式。同时看出 也是一个以N为周期的周期序列,即,这和离散傅里叶级数只有N个不同的系数 的说法是一致的。可以看出,时域周期序列 的离散
7、傅里叶级数在频域(即其系数 也是一个周期序列。因而 与 是频域与时域的一个周期序列对, 式(3-2)与式(3-4)一起可看作是一对相互表达周期序列的离散傅里叶级数(DFS)对。 为了表示方便,常常利用复数量WN来写这两个式子。WN定义为,(3-5),WN的性质,1.周期性,2.共轭对称性,3.可约性,4.正交性,使用WN, 式(2-4)及式(2-2)可表示为:,(3-6),(3-7),式中,DFS表示离散傅里叶级数正变换,IDFS表示离散傅里叶级数反变换。 从上面看出,只要知道周期序列一个周期的内容,其他的内容也都知道了。 所以,这种无限长序列实际上只有一个周期中的N个序列值有信息。 因而周期
8、序列和有限长序列有着本质的联系。,例3-1 设 为周期脉冲串,(3-8),因为对于0nN-1, , 所以利用式(2-6)求出 的DFS系数为,(3-9),在这种情况下,对于所有的k值 均相同。于是,将式(3-9)代入式(3-7)可以得出表示式,(3-10),例3-2 已知周期序列 如图3-2所示,其周期N=10, 试求解它的傅里叶级数系数 。,图3-2 例3-2的周期序列 (周期N=10),由式(3-6),(3-11),这一有限求和有闭合形式,(3-12),图 3-3 图3-2所示序列的傅里叶级数系数 的幅值,式(3-6)中的周期序列 可看成是对 的第一个周期x(n)作Z变换,然后将Z变换在Z
9、平面单位圆上按等间隔角2/N采样而得到的。令,通常称x(n)为 的主值区序列,则x(n)的Z变换为,(3-13),把式(3-13)与式(3-6)比较可知,(3-14),可以看出,当0kN-1 时, 是对X(z)在Z平面单位圆上的N点等间隔采样,在此区间之外随着k的变化, 的值呈周期变化。 图3-4画出了这些特点。,由于单位圆上的Z变换即为序列的傅里叶变换,所以周期序列 也可以解释为 的一个周期x(n)的傅里叶变换的等间隔采样。 因为,(3-15),比较式(3-15)和式(3-6),可以看出,这相当于以2/N的频率间隔对傅里叶变换进行采样。,(3-16),例3-3 为了举例说明傅里叶级数系数 和
10、周期信号 的一个周期的傅里叶变换之间的关系,我们再次研究图2-2所示的序列 。 在序列 的一个周期中:,(3-17),则 的一个周期的傅里叶变换是,(3-18),可以证明,若将=2k/10 代入式(2-18), 即,图 3-5 对图3-2所示序列的一个周期作傅里叶变换的幅值,图 3-6 图3-3和图3-5的重叠图,它表明一个周期序列 的DFS系数等于主值区序列的傅里叶变换的采样,其中,a,b为任意常数。,3-4 DFS的性质,一.线性,如果,则有,以下性质均在条件:x1(n)和x2(n)都是周期为N的周期序列,二.序列的移位,则有:,如果,证明:,令i=m+n,则 n=i-m。,n=0 时,i
11、=m; n=N-1时,i=N-1+m,所以,* 和 都是以N为周期的周期函数。,三.调制特性 如果 则有,证明:,时域乘以虚指数( )的m次幂,频域搬移m,调制特性。,四.周期卷积和* 重点* 1.如果 则:,周期卷积是线性卷积的周期延拓-Go!,线性卷积的长度及周期卷积代替线性卷积的条件-GO!,圆周卷积的定义及求解过程-GO!,利用DFS求解线性卷积的步骤Go!,周期卷积的方法举例说明它仍然是同周期的DFS 并引导出与线性卷积的关系next page,2.两个周期序列的周期卷积过程* (1)画出 和 的图形; (2)将 翻摺,得到 可计算出:,返回目录,返回目录,0 1 2 3 4 5,计
12、算区,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,(3)将 右移一位、得到,可计算出:,返回目录,返回目录,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,(4)将 再右移一位、得到 可计算出:,返回目录,(5)以此类推,,返回目录,n,计算区,返回目录,3. 频域卷积定理 如果 ,则,证明从略。,3-5 有限长序列离散傅里叶变换(DFT),DFT的定义 上一节我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义, 因而它和有限长序列有着本质的联系。本节将根据周期序列和有限长序列之间的关系,由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频
13、域表示即离散傅里叶变换(DFT)。 设x(n)为有限长序列,长度为N,即x(n)只在n=0到N-1点上有值,其他n时,x(n)=0。即,为了引用周期序列的概念,我们把它看成周期为N的周期序列 的一个周期,而把 看成x(n)的以N为周期的周期延拓, 即表示成:,这个关系可以用图2-8来表明。通常把 的第一个周期n=0 到n=N-1 定义为“主值区间”, 故x(n)是 的“主值序列”,即主值区间上的序列。而称 为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠,故上式可写成,用(n)N表示(n mod N),其数学上就是表示“n对N取余数”, 或称“n对N取模值”。 令,0n1N-1,
14、 m为整数,则n1为n对N的余数。,例如, 是周期为N=9的序列,则有:,利用前面的矩形序列RN(n),式可写成,同理,频域的周期序列 也可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓,而有限长序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列,即:,我们再看表达DFS与IDFS:,这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值区间进行,它们完全适用于主值序列x(n)与X(k),因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义:,0kN-1,0nN-1,x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称上面第一式为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT), 称式第二式为X(k)的N点
15、离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列,就能唯一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列,都有N个独立值(可以是复数),所以信息当然等量。 此外,值得强调得是,在使用离散傅里叶变换时,必须注意所处理的有限长序列都是作为周期序列的一个周期来表示的。 换句话说,离散傅里叶变换隐含着周期性。,例1 已知序列x(n)=(n),求它的N点DFT。 解 单位脉冲序列的DFT很容易由DFT的定义式(2-30)得到:,k=0, 1, , N-1,(n)的X(k)如图2-9。这是一个很特殊的例子,它表明对序列(n)来说,不论对它进行多少点的DFT,所得结果都是一个离散矩形序列。,
16、图2-9 序列(n)及其离散傅里叶变换,例 2 已知x(n)=cos(n/6)是一个长度N=12的有限长序列, 求它的N点DFT。 解 由DFT的定义式(2-30),利用复正弦序列的正交特性,再考虑到k的取值区间,可得,图 2-10 有限长序列及其DFT,例 3已知如下X(k):,求其10点IDFT。,解 X(k)可以表示为,X(k)=1+2(k) 0k9,写成这种形式后,就可以很容易确定离散傅里叶反变换。 由于一个单位脉冲序列的DFT为常数:, 3-5 DFT-有限长序列的离散频域表示 一.预备知识 1.余数运算表达式 如果 , m为整数;则有: 此运算符表示n被N除,商为m,余数为 。 是
17、 的解,或称作取余数,或说作n对N取模值, 或简称为取模值,n模N。,返回目录,例如: (1) (2),返回目录,先取模值,后进行函数运作; 而 视作将 周期延拓。,2.,返回目录,二.有限长序列x(n)和周期序列 的关系,周期序列 是有限长序列x(n)的周期延拓。,有限长序列x(n)是周期序列 的主值序列。,返回目录,如:,N-1,n,x(n),0,0,N-1,定义从n=0 到(N-1)的第一个周期为主值序列或区间。,返回目录,三.周期序列 与有限长序列X(k)的关系,同样, 周期序列 是有限长序列X(k)的周期延拓。,而有限长序列X(k)是周期序列 的主值序列。,返回目录,四.从DFS到D
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