离散傅里叶变换DFT.ppt
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1、离散傅里叶变换,1753年,Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式,但是他未能给出所需的加权系数。 Jean-Baptiste-Joseph Fourier于1768年3月出生在法国的Auxerre,当他8岁时不幸成了一名孤儿,被收养在一个宗教界主办的军事学校中。在此期间,Fourier对数学产生了浓厚的兴趣。21岁那年,Fourier在巴黎学术界论述了有关数值方程解的著名论作,这一工作使他在巴黎的数学界出名。Fourier不仅是公认的大数学家,而且他还是一位杰出的教师。他灵活运用历史典故使得他的讲座非常生动。实际上,Fourier所研究的主要领域是数学史。Fourier
2、是最早以应用的眼光来解释抽象数学概念的研究者之一。 1798年,拿破仑侵略埃及,在侵略队伍中一些有名的数学家和科学家,Fourier就是其中的一位,他负责组织修建第一条从格勒诺布尔到都灵的道路。Fourier也是一个拥有独特想法的一个怪才。例如,他认为酷热是理想的环境,因此,他喜欢居住在严热的小屋里,并穿上厚厚的衣服。1801,法国决心召回自己的军队,于是Fourier才得以重返家园。 回国后,Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官,就是在此期间,Fourier完成了其经典之作Theorie analytiquede la chaleur(热能数学原理)。在该著作中,他证明了任一周期函
3、数都可以表示成正弦函数和的形式,其中正弦函数的频率为频率的整数倍。,Fourier,离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义,相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是,直至上个世纪六十年代,由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大,离散傅里叶变换长期得不到真正的应用,快速离散傅里叶变换算法的提出,才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能,并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来,计算机的处理速率有了惊人的发展,同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法,但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。,1.1 离散傅里叶变换(DFT),为了便于更好地理解DFT的概念,先讨论
4、周期序列及其离散傅里叶级数(DFS)表示。 1.1.1 离散傅里叶级数(DFS) 一个周期为N的周期序列,即 , k为任意整数,N为周期 周期序列不能进行Z变换,因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减,即 z 平面上没有收敛域。但是,正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达,周期序列也可用离散的傅氏级数来表示,也即用周期为N的正弦序列来表示。,将周期序列展成离散傅里叶级数时,只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量,所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数, 利用正弦序列的周期性可求解系数 。 将上式两边乘以 ,并对一个周期求和,上式中 部分显然只有当k=r时才有值为1,其
5、他任意k值时均为零,所以有 或写为 1) 可求 N 次谐波的系数 2) 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3) 为周期序列,周期为N。,时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对,这种对称关系可表为: 习惯上:记 ,,假设 都是周期为 N 的两个周期序列,各自的离散傅里叶级数为:,1)线性,a,b为任意常数,DFS的几个主要特性:,证:因为 及 都是以N为周期的函数,所以有,2)序列移位,由于 与 对称的特点,同样可证明,证:,同理:,对于复序列 其共轭序列 满足,3)共轭对称性,进一步可得,共轭偶对称分量,共轭奇对称
6、分量,4)周期卷积 若 则 或,周 期 卷 积,证: 这是一个卷积公式,但与前面讨论的线性卷积的差别在于,这里的卷积过程只限于一个周期内(即 m=0N-1),称为周期卷积。 例: 、 ,周期为 N=7, 宽度分别为 4 和 3 ,求周期卷积。 结果仍为周期序列,周期为 N 。,由于DFS与IDFS的对称性,对周期序列乘积,存在着频域的周期卷积公式, 若,则,1.1.2 离散傅里叶变换(DFT),我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义,因此它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x(n),长为N, 为了引用周期序列的概念,假定一个周期序列 ,它由长度为 N 的有限长序列 x(n
7、) 延拓而成,它们的关系:,周期序列的主值区间与主值序列: 对于周期序列 ,定义其第一个周期 n=0N-1,为 的“主值区间”,主值区间上的序列为主值序列 x(n)。 x(n)与 的关系可描述为: 数学表示: RN(n)为矩形序列。 符号(n)N 是余数运算表达式,表示 n 对 N 求余数。,例: 是周期为 N=8 的序列,求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。 因此,频域上的主值区间与主值序列:,周期序列 的离散傅氏级数 也是一个周期序列,也可给它定义一个主值区间 ,以及主值序列 X(k)。 数学表示:,长度为N的有限长序列 x(n) ,其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有
8、限长序列,它们的关系为: x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对,已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ,同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ,实际上 x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列(复序列)都有N个独立值,因而具有等量的信息。 有限长序列隐含着周期性。,DFT的矩阵方程表示,DFT特性:,以下讨论DFT的一些主要特性,这些特性都与周期序列的DFS有关。 假定x(n)与y(n)是长度为N的有限长序列,其各自的离散傅里叶变换分别为: X(k)=DFTx(n) Y(k)=DFTy(n) (1) 线性 DFTax(n)+by(n)=aX(k)+bY(k
9、) ,a,b为任意常数,(2) 循环移位 有限长序列x(n)的循环移位定义为: f(n)=x(n+m)NRN(n) 含义:1) x(n+m)N 表示 x(n) 的周期延拓序列 的移位: 2) x(n+m)NRN(n) 表示对移位的周期序列 x(n+m)N 取主值序列, 所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。f(n)实际上可看作序列 x(n)排列在一个N等分圆周上,并顺时针旋转 m 位。,循环移位,循环移位,移位前,左移两位后,证:利用周期序列的移位特性: 实际上,利用WN-mk的周期性,将f(n)=x(n+m)NRN(n)代入DFT定义式,同样很容易证明。,序列循环移位后的DFT为 F(
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