大连海事电说磁场理论课后习题答案.doc
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1、电磁场理论习题解答信息科学技术学院62第1章习题答案1-1 在直角坐标系中,试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。解:在直角坐标系中矢量D的散度运算如下: (1)因此,高斯通量定理和磁通连续性原理分别是两个标量方程: (2)在直角坐标系中矢量E的旋度运算如下: (3)法拉第电磁感应定律可以写成3个标量方程: (4)全电流定律也可以写成3个标量方程: (5)共8个标量方程。1-2 试证明:任意矢量E在进行旋度运算后再进行散度运算,其结果恒为零,即 ( E) = 0 (1)证明:设A为任意矢量场函数,由题1-1式(3)可知,在直角坐标系中,它的旋度为 (2)再对上式进行散度运算 (3)得证。
2、1-3 试由微分形式麦克斯韦方程组,导出电流连续性方程 (1)解:麦克斯韦方程组中微分形式的全电流定律为 (2)对上式等号两边进行散度运算,由题1-2知,等号左边的散度为零,等号右边的散度亦应为零,即 (3)把微分形式的高斯通量定理 D = r 代入上式,考虑到坐标变量和时间变量是相互独立的自变量,可得1-4题图 (4)上式移项即得式(1)。1-4 参看1-4题图,分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 e1和 e2,分界面两侧电场强度矢量E与单位法向矢量n21之间的夹角分别是 q1和 q2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度 rS = 0,试证明: (1)上式称为电场E的折射定律。证明:根据
3、已知条件,由电位移矢量D的法向分量边界条件可得D1n = D2n e1E1n = e2E2n (2)根据已知条件可知,分界面两侧电场强度矢量E的切向分量连续,即E1t = E2t (3)从1-4题图可以看出 (4)证毕。1-5 参看1-4题图,分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为 m1和 m2,假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量JS = 0,把图中的电场强度矢量E换成磁感应强度矢量B。试证明: (1)上式称为磁场B的折射定律。若 m1为铁磁媒质,m2为非铁磁媒质,即 m1m2 ,当 q1 90 时,试问 q2的近似值为何?请用文字叙述这一结果。解:由磁感应强度矢量的法向分量边界条件可得
4、B1n = B2n m1H1n = m2H2n (2)根据已知条件可知,分界面两侧的磁场强度矢量H的切向分量相等,即H1t = H2t (3)从1-4题图可以看出 (4)证毕。当 m1 m2时,必有tanq1 tanq2 ;而由于 q1 90,则必有 q20,即磁感线垂直于铁磁媒质的表面。1-6 已知电场强度矢量的表达式为E = isin(w t - b z)j2cos(w t - b z) (1)通过微分形式的法拉第电磁感应定律,求磁感应强度矢量B(不必写出与时间t无关的积分常数)。解:参见题1-1式(3),先对电场强度矢量E进行旋度运算 (2)将磁感应强度试量B对时间t进行积分,得 (3)
5、考虑到电场强度矢量E的Ez = 0,只有Ex和Ey两个坐标分量,且仅是 (z, t) 的函数,由题1-1式(4)可知 (4)通过对时间t的积分,求出磁感应强度矢量B的两个坐标分量 (5)于是可以写出磁感应强度矢量为 (6)与上面直接用电场强度矢量E计算得到的结果相同。1-7 一平板电容器由两块导电圆盘组成,圆盘的半径为R,间距为d。其间填充介质的介电常数 e 。如果电容器接有交流电源,已知流过导线的电流为I(t) = I0sin(wt)。忽略边缘效应,求电容器中的电位移矢量D。解:解法(一)电容器的电容量为 (1)两极板间的电压为 (2)两极板间的电场为 (3)两极板间的电位移为 (4)电位移
6、D对时间t的导数为 (5)解法(二)电容器内部的位移电流等于外部的传导电流,即 (6)把上式等号两边对时间t积分,可得 (7)与解法(一)的结果相同。1-8 在空气中,交变电场E = jAsin(w t - b z)。试求:电位移矢量D,磁感应强度矢量B和磁场强度矢量H。解:由已知条件可知Ex = Ez = 0, Ey = Asin(w t - b z) (1)对电场强度矢量E进行旋度运算(参见1-1题),得 (2)由微分形式的法拉第电磁感应定律,对时间t进行积分,可得 (3)由已知条件可知,电场强度矢量E的两个坐标分量Ez = Ex = 0,只有Ey分量,且仅是 (z, t) 的函数,由题1
7、-1式(4)应改写为 (4)通过对时间t的积分,磁感应强度矢量B的坐标分量只有 (5)即 由本构方程可求得另外两个矢量 (6)1-9 设真空中的磁感应强度为试求空间位移电流密度的瞬时值。解:由麦克斯韦方程知,而真空中传导电流J = 0,则位移电流为求得1-10 试证真空中麦克斯韦方程对于下列变化具有不变性式中,为真空中的光速。证明:由于真空中,J=0,=0,那么,E及B应满足的麦克斯韦方程可简化为, 即 将E及B代入该方程,即得而式中,。因此,上式可简化为即 同理可证,即麦克斯韦方程对该变换具有不变性。第2章习题答案2-1 参看图2-5-1,无限大导板上方点P(0, 0, h) 处有一点电荷q
8、。试求:z 0半无限大空间的电场强度矢量E和电位移矢量D,以及导板上的面电荷密度 rS和总电荷量q。解:用镜像点电荷q代替无限大理想导板。镜像点电荷q和真实点电荷q到任意给定的观察点(x, y, z) 的距离分别为 (1)任意给定的观察点(x,y,z)处的电位分布函数为 (2)由 可得 因此,无限大导板上方半无限大空间(点电荷所在点除外)的电场强度矢量为 (3)而电位移矢量为 (4)导板表面任意位置 (x, y, 0) 处电位移矢量D的法向分量就等于导板表面的面电荷密度: (5)在导板表面上 (6)因此有 (7)如果改为圆柱形坐标系,电荷分布函数可改写为 (8)把电荷分布函数在无穷大导板表面上
9、进行积分,可得 (9)2-2 参看图2-6-3,如果将4块导板的电位分别改为:上板120 V,左板40 V,下板30 V,右板90 V。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值:(1) 列出联立方程;(2) 用塞德尔迭代法求解;(3) 计算最佳加速因子 a;(4) 用超松弛迭代法求解;(5) 比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n = 4。解:(1) 列联立方程: (1)用消元法可求得准确解为y1 = 52.5 , y2 = 75 , y3 = 65 , y4 = 87.5 (2)(2) 塞德尔迭代法初值选取平均值 y1 = y2 = y3 = y4 = (120
10、+40+30+90)/4 = 70 (V) (3)第1次迭代: (4)第2次迭代: (5)第3次迭代: (6)第4次迭代: (7)第5次迭代: (8)各磁迭代结果列在2-2题表中。表中数据精确到小数点后一位:y1 = 52.5 , y2 = 75 , y3 = 65 , y4 = 87.5 (9)(3) 计算最佳加速因子 a (取p = 4)2-2题表1 各次迭代值与差分方程的准确值、分离变量法计算值对照表电 位 值第1次第2次第3次第4次第5次消元法准确值分离变量法计算值y1 = y1152.550.3151.9552.3652.4652.5y2 = y1270.6373.9174.7274
11、.9374.9875y3 = y2160.6363.9164.7364.9364.9865y4 = y2285.3186.9387.3687.5787.4987.5 (10)(4) 用超松弛迭代法求解,迭代公式如下: (11)代入加速因子 a,得(初值仍选取平均值) (12)第1次迭代 (13)第2次迭代 (14)第3次迭代 (15)第4次迭代 (16)各次迭代值列在下表之中:2-2题表2 各次迭代值与差分方程的准确值、分离变量法计算值对照表电 位 值第1次第2次第3次第4次第5次消元法准确值分离变量法计算值y1 = y1151.2449.9052.5752.4952.552.5y2 = y1
12、270.3374.2575.0075.0075.075y3 = y2159.6164.3064.9965.0065.065y4 = y2286.0687.2287.5287.5087.587.5(5) 比较两种迭代法的结果和收敛速度:超松弛迭代法第4次迭代结果与塞德尔迭代法第5次迭代结果相同。2-3 参看图2-7-1,如果平板电容其中电荷分布的线密度为 r = e0(1 + 4x2),其余条件相同,用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数 y。选择基函数为fn (x) = x(1 - xn) n = 1, 2, 3, (1)解:根据已知条件可知,其边值问题的泊松方程和边界条件为 (2)如
13、果用直接积分法,并且由边界条件确定积分常数,则上面微分方程式的准确解为当然,这么简单而且又有准确解的微分方程是用不着通过矩量法来求解的。把简单问题作为例子的目的,只不过是为了便于比较而已。题目中给出的基函数为f1(x) = x(1 - x) , f2(x) = x(1 - x2) , f3(x) = x(1 - x3) (3)电位分布函数为y (x) = k1x (1 - x) + k2x (1 - x2) + k3x (1 - x3) (4)选权函数与基函数相同:w1(x) = x (1 - x) , w2(x) = x (1 - x2) , w3(x) = x (1 - x3) (5)代数
14、(矩阵)方程的系数和常数分别为 (6) (7)列出矩阵方程如下 (8)于是可得到电位分布函数如下 (9)本题若选取权函数为w1(x) = -1 , w2(x) = -x , w3(x) = -x2 (10)代数(矩阵)方程的系数和常数分别为 (11) (12)列出矩阵方程如下: (13)展开系数的结果相同,但计算过程要简单一些。2-4 参看例2-7-1以及该题示意图图2-7-1。如果在该问题中选择权函数为 (1)上式中,R是余数,由式(2-7-8)表示。矩量法中,通过这种方式来选择权函数,又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下,用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数 y。解:代数(
15、矩阵)方程的系数和常数分别为 (2) (3)列出矩阵方程,并求得展开系数的解为 (4)本题若选取权函数为w1(x) = -1 , w2(x) = -x (5)得到的矩阵方程及展开系数的解为 (6)电位分布函数为 (7)2-5 若带点球的内外区域中的电场强度为试求球内外各点的点位。解:在r a区域内,。2-6 已知空间电场强度E = 3ex + 4ey - 5ez,试求(0,0,0)与(1,1,2)两点间的电位差。解:设P1点的坐标为(0,0,0),P2点的坐标为(1,1,2),那么,两点间的电位差为式中,E = 3ex + 4ey - 5ez,dl = ex dx + ey dy + ez d
16、z,因此电位差为2-7半径为的球内充满介电常数为的均匀介质,球外是介电常数为的均匀介质。若已知球内和球外的电位为式中为常数,求(1) 两种介质中的和;(2) 两种介质中的自由电荷密度。解 (1) 在区域内在区域内(2)在区域内,电荷体密度在区域内,电荷体密度在球面上,电荷面密度2-8一半径为的薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜,如图题2-6所示,球内充满了总电荷量为的体电荷,球壳上又另充有电量,已知内部的电场为,设球内介质为真空。计算:图题2-8(1)球内的电荷分布;(2)球外表面的面电荷分布。解 (1)由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为(2)球内的总电荷量在球壳外作一与球壳同心的球
17、形高斯面(略大于),根据场的球对称性,由高斯定理时 在导体球壳内作一与球壳同心的球面(略小于),由于球壳内电场为零,所以。由边界条件即导体球壳外表面电荷密度为。由此可知:球壳外表面上的电荷密度为,所以球壳外表面上的总电荷为球壳内表面上电荷为。故球内电荷不仅在球壳内表面上产生感应电荷,而且还在球壳外表面上产生感应电荷,所以在球壳外表面上的总电荷为。2-9中心位于原点,边长为的电介质立方体极化强度矢量为。(1)计算面和体极化电荷密度;(2)证明总的极化电荷为零。解(1)极化电荷体密度时,极化电荷面密度时,极化电荷面密度同理可得:,时(2)总极化电荷第3章习题答案3-1 通过直角坐标系试证明,对于任
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