微分方程和差分方程简介精简版.ppt
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1、三、利用Matlab求微分方程的解析解,结 果:u = tg(t-c),解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为 : y =3e-2xsin(5x),解 输入命令 : x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t); x=simple(x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z),结 果 为:x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c
2、1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,返 回,四、微分方程的数值解,(一)常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题,一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值,或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。,因此,研究常微分方程的数值解法是十分必要的。,返 回,(二)建立数值解法的一些途径,1、用差商代替导数,若步长h较小,则有,故有公式:,此即欧拉法。,2、使用数值积分,对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分,并利用梯形公式,有:,实际应用时,与欧拉公式结合
3、使用:,此即改进的欧拉法。,故有公式:,3、使用泰勒公式,以此方法为基础,有龙格-库塔(Runge Kutta)法、线性多步法等方法。,4、数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为O(hk+1)时(k为正整数,h为步长),称它是一个k阶公式。,k越大,则数值公式的精度越高。,欧拉法是一阶公式,改进的欧拉法是二阶公式。 龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。 线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。,返 回,(三)可以用Matlab软件求常微分方程的数值解,t,x=solver(f,ts,x0,options),ii.阻滞增长模型(Logistic模型、Verhulst模型),传染病模型
4、,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型,已感染人数 (病人) i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人,则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1)总人数N不变,病人和健康 人的 比例分别为,2)每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病,建模, 日 接触率,SI 模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻, (日接触率) tm,病人可以治愈!,?,t=tm, di/dt 最大,模型3,传染
5、病无免疫性病人治愈成为健康人,健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3)病人每天治愈的比例为, 日治愈率,建模, 日接触率,1/ 感染期, 一个感染期内每个病人的有效接触人数,称为接触数。,模型3,接触数 =1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)可以看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统,称移出者,SIR模型,假设,1)总人数N不变,病人、健康人和移出者的比例分别为,2)病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / ,建模,需建立 的两个方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线 的定义域,在D内作相
6、轨线 的图形,进行分析,模型4,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1: s01/ i(t)先升后降至0,P2: s01/ i(t)单调降至0,1/阈值,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段, (日接触率) 卫生水平,(日治愈率) 医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/, 的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值 1/,五、 微分方程稳定性分析,用微分方程方法建立的动态模型问题 模型分析 中的一个 重要问题是:当时间充分长后 ,动态过程的 变化趋势 是什么?,微分方程模型中 , 方程 ( 组 ) + 初始条件 解,初始条件的作用在于确定解, 它的微小变化会产生不同的
7、解,换言之,对解的发展性态变化 , 往往具有影响作用 .,问题是这种对解的发展性态的影响作用是 长期存在 的 , 还是当时间充分大以后 , 影响作用会 “消逝 ” ?,(1)微分方程模型的稳定性及其实际意义,有时候 , 初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变 大后 , 产生显著的差异 , 这时称 系统是不稳定 的 ;,有时候 , 初始条件变化导致解的性态差异会随时间变大 后而消失 , 这时称该 系统是稳定 的.,在实际问题中, 初始状态不能精确地而只能近似地确定, 所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的实际意义。,也就是说,在具有稳定性特征的微分方程模型中, 长远
8、来看, 最终发展结果与精确的初始状态究竟如何 , 两者 之间没有多大关系, 初始状态刻画得精确不精确是无关 紧要的。,微分方程稳定性理论 可以使我们在很多情况下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是 稳定 或 不稳定 的结论。,研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于 该方程解有无解析表达式的研究兴趣。,在数学建模竞赛活动中,很多问题中涉及到的微分方 程是一类称为 自治系统 的方程 。,自治方程 是指方程中不显含自变量 t 的微分方程,例如,自治方程 中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势, 则这个解的 最终趋势值 只能是该方程的 平衡点 。,的 平衡点 是指代数方程,的根 (可
9、能不止一个根) ;,的 平衡点 是 指代数方程组,的解 (可能不止一组解)。,如果存在某个邻域,使微分方程的解 x ( t ) 从这个邻域 内的某个点 x ( 0 ) 出发, 满足 :,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的;,如果存在某个邻域,使微分方程的解 x ( t ) , y ( t ) 从这个邻域内的某个点 x ( 0 ) , y ( 0 ) 出发, 满足 :,则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的。,上述 一阶自治方程 和 二阶自治方程组 解的 稳定性理论 结果可简介如下:,非线性方程 ( 一个方程 ) 情况,形式 : x( t ) = f ( x( t ) ),平衡点 : 解 f
10、 ( x ) = 0 , 得 x = x0 . 注意: 有时该方程的 根不止一个.,稳定意义 : 当 t 时, 如 x x0 , 则称 x0 是稳定的 平衡点; 否则称 x0 是不稳定平衡点.,由此 , 当 f ( x0 ) 0 时, x x0 ; 当 f ( x0 ) 0 时, x +.,(c) 一阶非线性问题的稳定性结论 : 根据有关数学理论 , 一阶非线性问题的稳定性在非临界情况下,与一阶 线性问题结论完全相同.,.,研究方法 : (a) 作 f ( x ) 的线性替代 ( 利用一元函数的泰勒展开式 ) : f ( x ) f ( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) =
11、f ( x0 )( x - x0 ) ;,(b) 线性问题研究: 求解 x = f ( x0 )( x x0 ) , 解得,非线性方程 ( 两个方程 ) 组情况,平衡点: 解 f (x , y) = 0 , 得 x = x 0 g ( x , y ) = 0 , y = y 0 .,y ( t ) = g ( x ( t ) , y ( t ) ),形式 : x ( t ) = f ( x ( t ) , y( t ) ) ,稳定意义 : 当 t + 时, 如 x x0 , y y0 , 则称 ( x0 , y0 ) 是稳定的平衡点 ; 否则称 ( x0 , y0 ) 是不稳定平衡点.,上面的
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