5.2 概率论与数理统计 (复旦大学出版社) 南京财经大学朱玲妹老师的课件.ppt
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1、 n 个相互个相互独立随机变量和的分布近似于正态分布,独立随机变量和的分布近似于正态分布,并且并且n 愈大愈大,近似程度愈好近似程度愈好.例例 一枚均匀的骰子连掷一枚均匀的骰子连掷 n 次次,点数之和点数之和,nYkX:第第k 次出现的点数,次出现的点数,k=1,2,nnnXXXY 2111XY 6161656161436161211pX01234567123663657636436354362361322pY36112362363111036436598212XXY 213243546576859410311212102468101214126/36314356610715821925102
2、7112712251321141515101661731810510152025301227/2163213XXXY 41546107208359561080111041212513140141461514016125171041880195620352120221023412405010015020012146/129643214XXXXY 概率论中概率论中,把在一定条件下大量独立随机变量和把在一定条件下大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理的分布以正态分布为极限的这一类定理,称为中心称为中心极限定理极限定理.中心极限定理是概率论中最重要的一类极限定理中心极限定理是概率论中最重
3、要的一类极限定理.(的中心极限定理的中心极限定理)(Lvy-Lindeberg)设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,Xn,独立同分布,独立同分布,,)(kXE),2,1(0)(2 kXDk 有有,Rx nnXYnkkn 1)(2122xdtetx lim)(limxYPxFnnnn xnnXPnkkn 1lim,)(1 nXEZEnkkn ,:1 nkknXZ令令,)(21 nXDZDnkkn nnXnkk 1近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布.),(2 nnN1 nkkX nXnnkk 11nX 近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布.bXaPnkk1 nnb nna bXPnk
4、k1 nnb1 nnbnnXPnkk1 bXPnkk1 nnb(定理定理)(Liapunov)设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,Xn,相互独立相互独立,具有数学具有数学期望和方差期望和方差:,)(kkXE ),2,1(,0)(2 kXDkk,:122 nkknB 令令存在正数存在正数,当当 时时,n,01122 nkkknXEB nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11)(2122xdtetx )(limxFnn xBXPnnkknkkn11lim 有有对对,Rx nZ)(xFn则则 的分布函数的分布函数定理五表明定理五表明,无论随机变量无论随机变量 服从什服从什么
5、分布么分布,只要在满足定理的条件下只要在满足定理的条件下,它们的和它们的和 当当n 很大时很大时,就近似服从正态分布就近似服从正态分布.),2,1(kXk nkkX1)(LaplaceMoivreDe xpnpnpPnn)1(lim,2,101 kAkAkXk未发生,未发生,次试验中次试验中第第发生,发生,次试验中次试验中第第,)(pXEk),1()(ppXDk ),(pnb(定理)定理)nnXXX 21),(pnbn),10(p有有,Rx )(2122xdtetx 证明证明:则则 X1,X2,Xn,独立同分布,独立同分布,),(pnbX若若)50(n),(npqnpNX近似服从近似服从).1
6、,0()1(NpnpnpX近似服从近似服从 由定理四由定理四)(2122xdtetx xpnpnpXPnkkn)1(lim1 xpnpnpPnn)1(lim bXP PnpX )1(pnp npb )1(pnp npb)1(pnp bXaP npa)1(pnp npb)1(pnp bXP npb1)1(pnp ,201 kkVV例例1 一加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声电压个噪声电压 设它们是相互独立的随机变量设它们是相互独立的随机变量,都服从都服从(0,10)上的均匀上的均匀分布分布,记记 求求 的近似值的近似值.)20,2,1(kVk105 VP解解:,5)(kVE,12100)(
7、kVD105 VP20)1210(1002012100520201 VVZkk1051 VP 20)1210(1001051348.0)387.0(1 近似服从近似服从N(0,1).),2.0,100(bX 3014 XP,20)(XE.16)(XD 5.216205.1XP)5.1()5.2(19332.09938.0 927.0 例例2 某保险公司经多年的统计资料表明某保险公司经多年的统计资料表明,在索赔户中被在索赔户中被盗户占盗户占20%,在随机抽查的在随机抽查的100家索赔户中家索赔户中,求被盗的户求被盗的户数不少于数不少于14户且不超过户且不超过30户的概率户的概率.解解:在在100
8、家索赔户中家索赔户中,被盗的户数为被盗的户数为X,1o 二项分布的极限分布二项分布的极限分布泊松分布泊松分布一般一般n 较大较大,p 较小较小,且且np 10时时,用泊松分布近似用泊松分布近似;正态分布正态分布n 很大很大,但但 p 不是很小时不是很小时,用正态分布近似较好用正态分布近似较好.2o 二项分布的正态近似有一项修正二项分布的正态近似有一项修正 2121bXaPbXaP5 np 175467.0!55555 eXP225.2,5 npqnp5.055.055 XPXP1)225.0(2 1820.015910.02 )01.0,500(bX17635.099.001.05495555
9、00 CXP例例3 每颗炮弹命中飞机的概率为每颗炮弹命中飞机的概率为0.01,求求500发炮弹命发炮弹命中中5发的概率发的概率.解解:X 命中的炮弹数命中的炮弹数,(1)二项分布二项分布(2)泊松分布近似泊松分布近似(3)正态分布近似正态分布近似例例4 对一名学生而言对一名学生而言,来参加家长会的家长人数是一个随来参加家长会的家长人数是一个随机变量机变量,设一名学生无家长、有设一名学生无家长、有1位家长、有位家长、有2位家长来位家长来参加会议的概率分别为参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,各学生参加会议的家长人数相互独立各学生参加会议的家长人
10、数相互独立,且服从同且服从同一分布一分布.求求(1)参加会议的家长人数参加会议的家长人数X 超过超过450的概率的概率;(2)求有求有1位家长来参加会议的学生数不多于位家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.,1.1)(kXE,19.0)(kXDkX解解:(1)设设 是第是第 k 名学生来参加会议的家长人数名学生来参加会议的家长人数400,2,1 k15.080.02105.00kkpX,4001 kkXX,4401.1400)(XE7619.0400)(XD 450 XP 4501 XP 764404501)147.1(1 1257.0(2)设设Y 为有为有1位家长来参加会议的学生数
11、位家长来参加会议的学生数,)8.0,400(bY 340 YP 83203409938.0)5.2(,320)(YE.64)(YD例例5 某车间有某车间有200台机车独立的工作台机车独立的工作,设每台机车开工设每台机车开工的概率为的概率为 0.6,开工时耗电开工时耗电1 千瓦千瓦.问供电所要供应多少问供电所要供应多少电才能以不小于电才能以不小于99.9%的概率保证车间不会因供电不的概率保证车间不会因供电不足而影响生产足而影响生产.解:设解:设 X 为为200台机车中工作着的台数,台机车中工作着的台数,)6.0,200(bX供电所要供应供电所要供应 r 千瓦的电力千瓦的电力.999.0 rXP0
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