7.1-7.2平面应力状态.ppt
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1、第七章第七章应力状态和强度理论应力状态和强度理论7.1 7.1 概述概述1 1、问题的提出、问题的提出 弯曲时,同一横截面上弯曲时,同一横截面上不同点不同点上的应力是不同的上的应力是不同的IMy 轴向拉压时,轴向拉压时,同一点同一点不同方向不同方向面上的应力也是面上的应力也是各不相同的各不相同的2sin21cos2Fp应力取决于:应力取决于:点的位置点的位置截面的方向截面的方向ABmmnn二、单元体法二、单元体法单元体(单元体(体)体)由于单元体无穷小,可认为由于单元体无穷小,可认为1 1、单元体各面上的应力均匀分布、单元体各面上的应力均匀分布2 2、单元体的两个平行面上的应力相同、单元体的两
2、个平行面上的应力相同1 1、单元体法的基本思想、单元体法的基本思想dxdxdydydzdz结论:结论:对单元体可用截面法,计算任意斜截面对单元体可用截面法,计算任意斜截面上的应力。上的应力。2 2、基本单元体、基本单元体单元体上的应力可以用基本变形单元体上的应力可以用基本变形理论求得,称为理论求得,称为基本单元体。基本单元体。AAIyMbISFzzS*4FlMSF2F2FA3 3、主平面,主应力,主单元体、主平面,主应力,主单元体主平面:主平面:切应力等于零的截面切应力等于零的截面主应力:主应力:主平面上的正应力主平面上的正应力主单元体:主单元体:主平面构成的单元体主平面构成的单元体 对于构件
3、上任意一点,均有对于构件上任意一点,均有唯一的唯一的主单元体主单元体图示单元体的前、后面,即为图示单元体的前、后面,即为主平面主平面312A有三个有三个主应力,记为主应力,记为321,(主应力主应力按照代数值大小排列)按照代数值大小排列)321三、三、单向单向 二向二向 三向三向A123 主单元体中有一个主应力等于零,主单元体中有一个主应力等于零,其余两个主应力不等于零。其余两个主应力不等于零。主单元体中有一个主应力不等于零,主单元体中有一个主应力不等于零,其余两个主应力等于零。其余两个主应力等于零。主单元体的三个主应力都不等于零。主单元体的三个主应力都不等于零。7.7.2 2 平面应力状态分
4、析平面应力状态分析一、概述一、概述二向二向主单元体中有一个主应力等于零,两个主应力不等于零。主单元体中有一个主应力等于零,两个主应力不等于零。A1212AyxxyyxAyxxyyx二向二向单元体上有一对平行面上没有应力。单元体上有一对平行面上没有应力。二、解析法二、解析法分析内容:求单元体上任意斜截面上应力,从分析内容:求单元体上任意斜截面上应力,从而确定而确定主平面,主应力,主单元体以及最大切主平面,主应力,主单元体以及最大切应力大小和所在截面。应力大小和所在截面。yxxyyxabcdnfe已知:已知:xyyx,斜截面斜截面ef 的方位角的方位角1 1、斜截面、斜截面ef 上的应力上的应力解
5、解:用用efef截面将单元体截开截面将单元体截开,取取aefaef为研究对象。为研究对象。yxxyyxabcdfen有关物理量的符号规定:有关物理量的符号规定:正应力正应力:拉伸为正,压缩为负:拉伸为正,压缩为负切应力切应力:绕研究对象顺时针:绕研究对象顺时针转为正,逆时针转为负转为正,逆时针转为负 角角:从:从 x 轴正向轴正向 n,逆时针转为正。逆时针转为正。afeyxxyyxyxxyyxabcd 0 nF0sinsincossincoscossincosdAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0sinsincossinsincoscoscosdAdAdAdAdAyxyxxy注意到:注意
6、到:,得:,得:xyyxcossin2sincos22yxyx22sincossincosxyyxyxxyyxabcdcossin2sincos22xyyx22sincossincosxyyx上式可进一步简化为:上式可进一步简化为:afeyxxyyx2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx2cos121cos22cos121sin2利用:利用:2sin21cossin2 2、主平面,主应力主平面,主应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx22222cossinddxyyx主应力:主应力:主平面上的正应力主平面上的正应力主平面:主平面:切应力等于零的截面切
7、应力等于零的截面由定义:由定义:结论:主应力是正应力的极值。结论:主应力是正应力的极值。主平面位置主平面位置:yxxyarctan221022210yxxyarctanyxxytan2202sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyxyxxytan220220202212tan112cosxyyxyx22020022tan12tan2sinxyyxxy2222xyyxyxmaxminAyxxyyxmaxmin0yxxyarctan221022210yxxyarctan主平面位置主平面位置:2222xyyxyxmaxmin2cos2sin2xyyx3 3、最大切应力、最大切应力2si
8、n2cosxyyxdd0|1dd由由:xyyxtan221得得:112sin,2cos22max2xyyx)-(2/131max总结:总结:主平面位置主平面位置:yxxytan2202222xyyxyxmaxmin)-(2/131max2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx确定单元体的主应力和主平面位置并确定单元体的主应力和主平面位置并在单元体中绘出在单元体中绘出解:解:MPax25MPay75MPaxy40主平面位置主平面位置:yxxytan2208.07525)40(200034.14166.382或或00067.7033.19或或00例题:例题:MPa25MPa75M
9、Pa40MPa25MPa75MPa402222xyyxyxmaxminMPax25MPay75MPaxy4022402752527525maxminMPamax39MPamin8900067.7033.19或或0001033.1902067.702010主平面位置主平面位置:MPa391MPa893主平面和主平面和?MPa25MPa75MPa40022sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx320101MPa25MPa75MPa4001033.1925(75)25(75)cos(2 19.33)(40)sin(2 19.33)3922MPa 0119.33三、图解法三、图解法2
10、sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx将上述公式改写为将上述公式改写为:2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx等式两边平方等式两边平方,求和求和,得得:222222xyyxyx1 1、理论基础、理论基础222222xyyxyx为已知量为已知量xyyx,为未知变量为未知变量,为纵坐标为纵坐标为横坐标为横坐标以以,上式是以上式是以 为圆心为圆心,0,2yx 为半径的圆。为半径的圆。222xyyx这一个圆,称为应力圆。这一个圆,称为应力圆。R应力圆应力圆 xy 2c222222xyyxyx 圆心在圆心在0,2yx,半径半径 的圆。的圆。222xyyxR4、以以C
11、为圆心,为圆心,CD为为半径作圆半径作圆Ayxxyyx 1、由、由 得得D点点 ),(xyx 2、由、由 得得D点点 ),(yxy3、连连DD交交 轴轴 于于C 点点应力圆应力圆DxxyDyyxCDxxyDyyxAOBCyxxyyxE21 1)求任意斜截面)求任意斜截面m m上的应力上的应力2 2、应力圆的应用、应力圆的应用mm从从D点,沿圆周点,沿圆周斜截面斜截面m m上的上的正应力和切应力正应力和切应力。DxxyDyyxAOBC022 2)确定主平面的位)确定主平面的位置和主应力的大小置和主应力的大小A1B1A1 最大主应力所在截面最大主应力所在截面 主平面主平面B1 最大主应力所在截面最
12、大主应力所在截面 主平面主平面2222xyyxyxmaxmin1maxCAOC 1minCBOC AyxxyyxDxxyDyyxAOBC02A1B1yxxy22tan0主平面的位置主平面的位置0maxmin3 3)确定最大切应力的大小)确定最大切应力的大小 和所在截面的位置和所在截面的位置DxxyDyyxAOBC02A1B1G2G1G1 ,G2 最大切应力最大切应力 所在截面所在截面 显然有:显然有:22max2xyyx045截面和主平面的夹角为截面和主平面的夹角为截面上还有正应力截面上还有正应力2yx有关应力圆结论:有关应力圆结论:DxxyDyyxCAOBRAyxxyyx一点的应力圆完全确一
13、点的应力圆完全确定了一点的应力状态。定了一点的应力状态。确定单元体的主应力和主平面确定单元体的主应力和主平面解:解:MPax25MPay75MPaxy40例题:例题:D40,25 D40,75CMPa25MPa75MPa40主平面位置主平面位置:0066.3820033.19D40,25 D40,75C1302013yxxytan2208.07525)40(2MPa25MPa75MPa40DDC130222122xyyxyx2240275252752503.6425MPa03.3922322xyyxyx03.6425 MPa03.89013MPa25MPa75MPa407.7.3 3 空间应力
14、状态空间应力状态AF312A一、三向应力状态的实例一、三向应力状态的实例三向受压应力状态三向受压应力状态FFAA132三向受拉应力状态三向受拉应力状态二、三向应力状态分析二、三向应力状态分析一般的三向应力状态分析比较复杂,一般的三向应力状态分析比较复杂,我们仅讨论三个主应力为已知的情况。我们仅讨论三个主应力为已知的情况。A231yxz x y z xy yx yz zy zx xzabccba321231abccba考虑平行于考虑平行于 的任意斜截面上的应力的任意斜截面上的应力33不会在该截面上产生任何应力不会在该截面上产生任何应力该截面上的应力的分析将完全等同于二向应力状态的该截面上的应力的
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