2014届浙江高考数学(理)总复习同步教材精品课件:2.12《导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例》(新人教A版).ppt
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1、第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例,三年31考 高考指数: 1.了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值;会求闭区间上函数的最大值、最小值. 3.会利用导数解决某些简单的实际问题.,1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的极值(最值)是考查重点; 2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难点; 3.题型有选择题和填空题,难度较小;与方程、不等式等知识点交汇则以解答题为主,难度较大.,1.导数与函数单
2、调性的关系 (1)函数y=f(x)在某个区间内可导 若f(x)0,则f(x)在这个区间内_; 若f(x)0,则f(x)在这个区间内_. 如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为_. (2)单调性的应用 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f(x)在该区间上不变号.,单调递增,单调递减,常数函数,【即时应用】 (1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的单调情况是_. (2)设f(x)是函数f(x)的导函数,y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是_.,(3)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是_. 【解析】(1)在(0
3、,2)上有f(x)=1-cosx0,所以f(x)在(0,2)上单调递增. (2)由导函数图象知,f(x)在(-,0)上为正,在(0,2)上为负,在(2,+)上为正,所以f(x)在(-,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,在(2,+)上是增函数,比较,只有符合.,(3)函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,只需y=3x2+2x+m0恒成立, 即=4-12m0,m . 答案:(1)单调递增 (2) (3)m,2.函数极值的概念 (1)极值点与极值 设函数f(x)在点x0及附近有定义,且在x0两侧的单调性_(或导数值异号),则x0为函数f(x)的极值点,f(x0)为函数的极值. (2)极
4、大值点与极小值点 若先增后减(导数值先正后负),则x0为_点. 若先减后增(导数值先负后正),则x0为_点.,相反,极大值,极小值,【即时应用】 (1)判断下列结论的正误.(请在括号中填“”或“”) 导数为零的点一定是极值点 ( ) 函数f(x)在点x0及附近有定义,如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值 ( ) 函数f(x)在点x0及附近有定义,如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值 ( ),(2)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个
5、数为_. (3)函数f(x)=x3+3x2-9x的极值点为_.,【解析】(1)导数为零只是函数在该点取极值的必要条件, 正确,f(x0)为极小值,故错误. (2)从f(x)的图象可知f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增减增减,所以f(x)在(a,b)内只有一个极小值点; (3)由f(x)=3x2+6x-9=0得x=1或x=-3, 当x-3时,f(x)0,当-3x1时,f(x)0, 当x1时,f(x)0, x=1和x=-3都是f(x)的极值点. 答案:(1) (2)1 (3)1和-3,3.函数极值与最值的求法 (1)求可导函数极值的步骤: 求导数f(x); 求方程f(x)=0的根; 列
6、表,检验f(x)在方程f(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性),确定是否为极值,是极大值还是极小值.,(2)求函数y=f(x)在闭区间a,b上的最值可分两步进行: 求y=f(x)在(a,b)内的_; 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为_,最小的一个为_.,极值,最大值,最小值,【即时应用】 (1)思考:最值是否一定是极值? 提示:不一定.如果最值在端点处取得就不是极值. (2)函数f(x)=3x-4x3,x0,1的最大值是_. 【解析】由f(x)=3-12x2=0得x= , f(0)=0,f( )=1,f(1)=-1
7、,f(x)max=1. 答案:1,(3)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则f(2)=_. 【解析】f(x)=3x2+2ax+b,由题意 即 得a=4或a=-3. 但当a=-3时,b=3,f(x)=3x2-6x+30,故不存在极值,a=4,b=-11,f(2)=18. 答案:18,4.导数的实际应用 导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、效率最高等问题中,解决这类问题的关键是建立恰当的数学模型(函数关系),再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中要时刻注意实际问题的意义.,【即时应用】 (1)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:
8、万件)的函数关系式为y= x3+81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_. (2)将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S= ,则S的最小值是_.,【解析】(1)y=-x2+81,令y=0得 x=9或x=-9(舍去),当x9时y0; 当x9时y0,故当x=9时函数有极大值,也是最大值; 即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件. (2)设剪成的小正三角形的边长为x, 则:S=,令S(x)=0(0x1),得x= , 当x(0, )时,S(x)0,S(x)递减; 当x( ,1)时,S(x)0,S(x)递增; 故当x= 时,S取得最小值 .
9、答案:(1)9万件 (2),利用导数研究函数的单调性 【方法点睛】 1.导数在函数单调性方面的应用 (1)利用导数判断函数的单调性; (2)利用导数求函数的单调区间; (3)已知函数单调性,求参数的范围.,2.导数法求函数单调区间的一般步骤 第一步:求定义域:求函数y=f(x)的定义域 第二步:求根:求方程f(x)=0在定义域内的根 第三步:划分区间:用求得的方程的根划分定义域所在的区间 第四步:定号:确定f(x)在各个区间内的符号 第五步:结果:求得函数在相应区间上的单调性,即得函数y=f(x)的单调区间. 【提醒】当f(x)不含参数时,也可通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调
10、递增(或递减)区间.,【例1】(1)(2011山东高考)函数y= -2sinx的图象大致 是( ),(2)(2012景德镇模拟)已知f(x)=lnx: 设F(x)=f(x+2)- ,求F(x)的单调区间; 若不等式f(x+1)f(2x+1)-m2+3am+4对任意a-1,1,x0,1恒成立,求m的取值范围.,【解题指南】(1)排除法与求导相结合,根据导数与函数单调性 的关系判断. (2)由题意只需解不等式F(x)0和F(x)0即可得到单调区 间;原不等式恒成立可转化为ln 3ma+4-m2恒成立,进一步 转化为(ln )max(3ma+4-m2)min成立.,【规范解答】(1)选C.当x=0时
11、,y=0,排除A. 当x2时,y= -2sinx0,排除D. 由y= -2cosx0,得cosx ,在满足上式的x的区间内,y是减函数, 由余弦函数的周期性知,函数的增减区间有无数多个, B不正确,C正确.,(2)F(x)=ln(x+2)- 定义域为: (-2,-1)(-1,+). 令F(x)0,得单调增区间为(-2,- )和( ,+) 令F(x)0,得单调减区间为(- ,-1)和(-1, ),不等式f(x+1)f(2x+1)-m2+3am+4化为: ln(x+1)ln(2x+1)-m2+3am+4即 ln 3ma+4-m2. 现在只需求y=ln (x0,1)的最大值和y=3ma+4-m2(a
12、 -1,1)的最小值. 因为 在0,1上单调递减, 所以y=ln (x0,1)的最大值为0,而y=3ma+4-m2(a-1,1)是关于a的一次函数,故其最小值只能 在a=-1或a=1处取得,于是得到: 或 解得0m1或-1m0, 所以m的取值范围是-1,1.,【互动探究】若本例(2)第问中条件改为“F(x)=f(x+2)-kx在定义域内是单调递增函数”,则k的取值范围是_. 【解析】由题意F(x)= -k0在(-2,+)上恒成立,k 恒成立,k0. 答案:k0,【反思感悟】1.求函数的单调区间时,切记定义域优先的原则,一定要注意先求定义域. 2.恒成立问题的处理,一般是采用“分离参数,最值转化
13、”的方法.,【变式备选】已知f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)是否存在a,使f(x)在(-,0上单调递减,在0,+)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 【解析】f(x)=ex-a. (1)若a0,f(x)=ex-a0恒成立,即f(x)在R上递增. 若a0,令ex-a0,得exa,xlna. f(x)的单调递增区间为(lna,+).,(2)方法一:由题意知ex-a0在(-,0上恒成立. aex在(-,0上恒成立. ex在(-,0上为增函数. 当x=0时,ex最大为1. a1.同理可知ex-a0在0,+)上恒成立. aex在0,+)上恒成立.a1
14、,a=1. 方法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点.f(0)=0,即e0-a=0,a=1,验证a=1符合题意.,利用导数研究函数的极值(最值) 【方法点睛】 1.应用函数极值应注意的问题 (1)注意极大值与极小值的判断. (2)已知极值求参数的值:注意f(x0)=0是可导函数y=f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件. 2.数形结合求参数的范围 利用导数研究了函数的单调性和极值后,可以画出草图,进行观察分析,确定满足条件的参数范围.,【例2】已知函数f(x)=xe-x(xR). (1)求函数f(x)的单调区间和极值; (2)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=
15、1对称.证明当x1时,f(x)g(x). (3)如果x1x2,且f(x1)=f(x2),证明x1+x22. 【解题指南】由f(x)=0得出可能的极值点,再列表判断;利用已知条件求出y=g(x)的解析式,构造新函数进行证明;讨论x1,x2的可能取值,判断其范围,再利用f(x)的单调性证明.,【规范解答】(1)f(x)=(1-x)e-x. 令f(x)=(1-x)e-x=0,得x=1. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所以f(x)在区间(-,1)内是增函数,在区间(1,+)内是减函数. 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1),且f(1)= . (2)因为函数y=g(x)的图象与函
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