南京理工大学应用数理统计PPT(第八章 正交实验设计).ppt
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1、1,第八章 正交实验设计 (experiment design ),8.1 因素(factor)与水平(level),因此如何合理地安排试验,如何对试验的结果进行科学的分析,就成为人们十分关心的问题。在工农业生产的推动下,这方面的实践和研究形成了统计学的一个重要分支试验设计,并得到了广泛的应用。,我们遇到的实际问题,一般都是比较复杂的,包含有多种因素,各个因素又有不同的状态,它们互相交织在一起。为了寻求合适的生产条件,就要对各种因素以及各个因素的不同状态进行试验。,2,例811 提高某种农药收率的试验 某农药厂生产某种农药,根据生产经验,发现影响农药收率的因素有4个,每个因素都有两种状态,具体
2、如下: A反应温度: 60 80 B反应时间: 2.5小时 3.5小时 C配比(某两种原料之比): D真空度: 500毫米汞柱 600毫米汞柱,3,我们通常称影响试验指标的因素为因子, 用大写字母A,B,C,表示; 可能处于的状态称为水平,用该字母加上足标表示。 例如, , 表示因子A的第一,第二,水平等。 我们把实验中需要考虑多个因子,而每个因子又有多个水平有待考查的试验问题称为多因子试验问题。,例8.1.1就是四个两水平的因子试验问题。,4,我们希望通过试验解决的问题是: (1)找出各因子对指标的影响规律,哪个因子是主要的,哪个是次要的?哪些因子除了各自的单独作用外,它们之间还产生综合效果
3、?这种综合效果有多大?对指标的影响,综合效果是主要的,还是因子的单独作用是主要的? (2) 选出各因子的一个水平来组合成比较合适的生产条件,以下通称最优生产条件,这里的最优是对试验所考察的因子和水平而言。,5,上面的问题对例8.1.1来说,从四个因子的每个因子的两个水平中选一个水平的所有搭配共有 种,显然,所有16种可能搭配都进行试验,再经过试验结果的处理就可以获得问题的圆满解决。,能否只作其中一小部分试验,通过分析就可以获得问题的圆满解决呢?在比较复杂的多因子试验中,这个问题就更突出了。,例如考查的因子有九个,每个因子有三个水平,则这一试验问题中,所有可能的搭配有 种,要逐个进行试验,显然是
4、不可能实现。,6,(1)所有可能搭配的试验次数与实际可行的试验次数之间的矛盾。 (2)实际所作少数试验与要求全面掌握内在规律之间的矛盾。,为了解决第一类矛盾,要求必须合理地设计和安排试验,以便通过尽可能少的试验次数,就可抓住主要矛盾。 为解决第二类矛盾,要求我们对试验结果作科学的分析,透过现象看本质,认识内在的规律,为解决问题提供可靠的依据。,因此多因子试验问题的突出矛盾是:,7,下面介绍的正交试验设计方法就是一种研究多因子试验问题的重要数学方法。它主要使用正交表这一工具来进行整体设计、综合比较、统计分析。,它使用正交表从所有可能搭配中一下就挑出若干必需的试验,然后再用统计分析方法对试验结果进
5、行综合处理,解决问题。目前试验设计已在冶金、化工、橡胶、纺织、医药卫生等方面得到了有效的应用。,8,若被考查的n个因子都取三个水平,则称为 因子试验问题。,多因子试验的分类。 在考查A,B,C,D,等n个因子对指标y的作用时,若每个因子都取两个水平,则称为 因子试验问题。,若被考查的因子有n+m个,其中,其中n个因子取两水平,m个因子取三水平,则称为 因子试验问题。,9,8.2 正交表,正交表是试验设计中合理安排试验,并对数据进行统计分析的主要工具。 正交表用符号 表示。 “ L ”代表正交表, “ p ”表示表中的行数,即要作的试验次数, “ m ”表示表中有m列,即最多允许安排的因子个数,
6、 “ n ”表示水平数。 可以证明:n,m,p满足,10,11,表称为正交表是因为它具有以下两个性质: (1)整齐可比性 每一列中,不同的数字出现的次数相等。 (2)均衡搭配性 任意两列中,将同一横行的两个数字看成有序数对时,每种数对出现的次数相等。这里有序数对共有四种:(1,1),(1,2)(2,1),(2,2),且它们各出现一次。 凡满足上述两个性质的表就称为正交表。,正交表还有如下性质: (3)正交表的任两行(或任两列)交换,它仍是正交表。 (4)某一列中各数码作对换或轮换,它仍是正交表。,12,8.3 正交试验设计,1、 试验计划的制订,表8.3.1 正交表,13,在表8.3.1的各因
7、子列中,在数字“1”和“2”中的位置分别填上各该因子的1水平和2水平,就得到一张试验计划表,如下:,14,在测得8个数据后,如何科学地分析这些数据,从而得出正确的结论,这是试验设计的重要步骤。在比较中要鉴别的内容是: (1) 在4个因子中,那些因子对收率的影响大,那些因子对收率的影响小? (2) 如果某个因子对试验数据的影响大,那么它取哪个水平对提高收率最有利? 第一个问题要在比较4个因子中获得解决,第二个问题要在比较每个因子的两个水平中获得解决。先解决第二个问题。,2、综合比较直观分析法,15,例如,对因子A(反应温度),怎样比较它的两个水平对收率的影响? 这里做了8次试验,直接从这8个数据
8、中两两比较是不行的,因为这8个试验条件没有两个是相同的,没有比较的基础。 如果把这8个试验数据适当组合起来,便会发现某种可比性,这就是正交设计特具的综合可比性。,以因子A为例。A的1水平 出现在上表中的第14号试验中,这四个试验收率的平均数是,16,A的2水平 出现在上表中的第58号试验中,这四个试验收率的平均数是,和 就具有可比性,因为在条件 下的四次试验中,因子B、C、D皆取遍两种水平,而且两种水平出现的次数相同,各为2次;同样,在条件 下的四次试验中,因子B、C、D也皆取遍两种水平,而且两种水平出现的次数相同,各为2次。,17,即对于在 下的四次试验和 下的四次试验来说,虽然其它条件(B
9、、C、D)在变动,但这种变动是“平等的”,所以 和 之间差异反映了A的两个水平的不同,由于,所以说因子A 取 时平均收率较高。 同样可以比较因子B、C、D的两个水平的好坏, 各项计算都可以在正交表上进行,十分简便。,18,19,我们从表的最后一行的正负可以看出,因子A取 比 时收率高; 因子B取 比 时收率高; 因子C取 比 时收率高; 因子D取 比 时收率高;,因此在只考虑因子单独作用的情况下, 可选择 作为最优生产条件。,20,直观上容易看出,一个因子对实验的结果影响大,就是主要的。所谓影响大,就是这因子的不同水平的平均收率之间的差异大。相反,一个因子对试验的影响小,就是次要的。即这因子的
10、不同水平的平均收率之间的差异小。从表的最后一行的绝对值的大小可见,因子C的两个水平之间的差异最大,是主要矛盾。其次是因子B和因子A,再次是因子D。注意:当试验范围或试验条件发生改变时,矛盾的主要和非主要方面可以相互转化。,现在,我们在A、B、C、D四个因子中,来分清主次,抓住主要矛盾,即解决开始时提出的问题 。,21,8.4 交互作用 (interaction),一、交互作用定义,一般在一个试验里,不仅各个因子在起作用,而且因子之间有时会联合起来影响某一指标,这种作用称为交互作用。,例841 某生产队对土地大体相同的四块大豆试验田,用不同的方式施用氮肥(N)和磷肥(P),结果第一块不加氮、磷肥
11、,平均亩产400斤;第二块只加6斤氮肥,平均亩产430斤;第三块只加4斤磷肥,平均亩产450斤;第四块只加6斤氮肥,4斤磷肥,平均亩产560斤。列表如下:,22,从表中看出,只加4斤磷肥,亩产增加50斤,只加6斤氮肥,亩产增加30斤,而氮、磷肥都加,亩产增加160斤。这说明,增产的160斤除了氮肥的单独效果30斤和磷肥的单独效果50斤以外,还有它们联合起来所发生的影响,而 (560400)(430400)(450400) =1603050=80(斤) 就反映了这种联合起来的影响。在正交试验设计中,把这个值的一半称为N和P的交互作用,记为NP。即,23,在正交试验设计中,把这个值的一半称为N和P
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